导读

最后一篇把视角拉远。股价、利率、波动率都被建模成随机微分方程的解。我们显式解出 Ornstein–Uhlenbeck 方程，认识 CIR 过程，并说明为什么所有 SDE 的解都是马尔可夫的。然后 Feynman–Kac 把整门课首尾接上：收益的条件期望和一个偏微分方程是同一个东西——Black–Scholes 只是其中一例。最后讲派息股票、停时和可选抽样定理。

1. 随机微分方程

固定 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb F,\mathbb P)\)、布朗运动 \(W\)，\(\mathbb F=\mathbb F^W\)。SDE 是如下形式的方程：

\(\mu:[0,\infty)\times\mathbb R\to\mathbb R\) 是漂移函数，\(\sigma:[0,\infty)\times\mathbb R\to\mathbb R\) 是扩散（离散）函数。和 Itô 过程不同，这里的系数依赖未知的 \(X\) 本身。

解是满足下式的过程 \(X\)：对所有 \(t\ge0\)

且所有积分都有定义。

GBM 就是一个 SDE。 取 \(\mu(t,x)=\mu x\)，\(\sigma(t,x)=\sigma x\)：\(dX_t=\mu X_tdt+\sigma X_tdW_t\)，解为 \(X_t=x\,e^{(\mu-\frac12\sigma^2)t+\sigma W_t}\)——正是 Black–Scholes 里的股票。

存在唯一性。 不是每个 SDE 都有解，有显式解的更少。在温和的条件下可以证明解存在且唯一；关键是 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 在空间变量上满足 Lipschitz 条件：

和常微分方程一样。这门课里我们总是假设解存在。

2. Ornstein–Uhlenbeck 过程

\(\theta\)：长期均值；\(\kappa\)：均值回复速度；\(\sigma\)：波动率。\(X\) 高于 \(\theta\) 时漂移把它往下拉，反之往上拉——像一根带噪声的弹簧。

求解。 （1）假设解存在，求出形式；（2）验证。乘以积分因子 \(e^{\kappa t}\) 再用 Itô（和确定性因子的乘积法则）：

积分：\(e^{\kappa t}X_t=x+\theta(e^{\kappa t}-1)+\int_0^te^{\kappa u}\sigma\,dW_u\)，所以

验证：求微分，\(dX_t=-\kappa e^{-\kappa t}\big((x-\theta)+\int_0^te^{\kappa u}\sigma dW_u\big)dt+\sigma\,dW_t=\kappa(\theta-X_t)dt+\sigma dW_t\)。✓

分布。 被积函数 \(e^{\kappa u}\sigma\) 是确定性的，由第 04 篇，随机积分服从正态，方差由 Itô 等距给出：

因此

起点以指数速度被遗忘；\(\theta\) 是长期均值，\(\sigma^2/(2\kappa)\) 是长期方差。

时变系数。 若 \(\kappa(t),\theta(t),\sigma(t)\) 非随机（可以随 \(t\) 变，但不随 \(\omega\) 变），\(dX_t=\kappa(t)\big(\theta(t)-X_t\big)dt+\sigma(t)dW_t\) 的解为

3. Cox–Ingersoll–Ross 过程

均值回复和 OU 一样，但瞬时条件方差是 \(\xi^2X_t\,dt\)：\(X\) 越接近 0，噪声越小。解必须保持为正，\(\sqrt{X_t}\) 才有意义；当 \(\kappa\theta\ge\frac12\xi^2\) 时解严格为正（Feller 条件）。没有显式解，但解存在，\(X_t\) 的分布可以求出来。它是常用的利率模型和方差模型。

4. 马尔可夫性

\(dX_t=\mu(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t\) 的解是马尔可夫过程：在时刻 \(t\) 想评估过程的未来，知道 \(X_t\) 就够了——\(\mathcal F_t\) 里 \(X_t\) 以外的信息都无关。实际用起来就是：

为什么：在时刻 \(t\)，下一步 \(dX_t\) 由 \(X_t\)（通过 \(\mu\) 和 \(\sigma\)）和 \(dW_t\) 决定，而 \(dW_t\) 与 \(\mathcal F_t\) 独立。分别展开 \(E[g(X_t+dX_t)\mid\mathcal F_t]\) 和 \(E[g(X_t+dX_t)\mid X_t]\)，一步一步都相同。

5. Feynman–Kac

设 \(dX_t=\mu(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t\)，\(g\) 为收益函数，\(r(t,x)\) 为贴现率。那么

与下面的偏微分方程一一对应：

不贴现时，\(u(t,x)=E[g(X_T)\mid X_t=x]\) 满足 \(0=u_t+\mu u_x+\frac12\sigma^2u_{xx}\)，\(u(T,x)=g(x)\)。

为什么成立（一句话）。 由马尔可夫性，\(e^{-\int_0^tr\,du}f(t,X_t)=E\big[e^{-\int_0^Tr\,du}g(X_T)\mid\mathcal F_t\big]\) 是鞅。对它用 Itô：\(dt\) 系数是 \(e^{-\int_0^tr}\big(f_t+\mu f_x+\frac12\sigma^2f_{xx}-rf\big)\)，而鞅没有 \(dt\) 项。

Black–Scholes 是特例。 取 \(\mathbb Q\) 下的 \(X=S\)，即 \(\mu(t,s)=rs\)，\(\sigma(t,s)=\sigma s\)，\(r\) 为常数，\(g(s)=(s-K)^+\)。偏微分方程就是第 05 篇的 Black–Scholes 方程，期望就是第 06 篇的风险中性公式。整门课的两半——偏微分方程和期望——是同一件事。

6. 派息股票

若股票以速率 \(a_t\) 连续派息，股价会因派息而下降：

财富。 在 \([t,t+dt]\) 上持有 \(\Delta_t\) 股，还会收到股息 \(\Delta_tS_ta_t\,dt\)：

财富动态和不派息时一样（收到的股息正好抵消股价的下跌），但股价动态变了。所以欧式期权的价格会变，因为股价不同了。在 \(\mathbb Q\) 下，

而 \(\mathbb Q\) 下股票的漂移变成 \(r_t-a_t\)。实际计算时，把收益写成 \(S_T=S_t\cdot\frac{S_T}{S_t}\) 的函数，固定 \(S_t=s\) 再算——和 Black–Scholes 的推导完全一样。

7. 停时

随机时间 \(\tau\) 是停时，如果

即在每个时刻，根据当前信息就能判断是否已经停下。例：非随机时间 \(\tau\equiv t_0\)，\(t_0\le t\) 时 \(\{\tau\le t\}=\Omega\)，否则为 \(\varnothing\)。

首中时（hitting time）。 \(\tau(\omega)=\inf\{t:X_t(\omega)=\lambda\}\)，\(X\) 第一次碰到水平 \(\lambda\) 的时间。对路径连续的适应过程 \(X\)，首中时是停时。（反过来，”\(T\) 之前最后一次碰到 \(\lambda\) 的时间”不是停时：要知道它必须看未来。）

停时处的值与停止过程。 \(X_\tau\) 是随机变量 \(\omega\mapsto X_{\tau(\omega)}(\omega)\)——比如 \(\tau(\omega)=1\) 时是 \(X_1(\omega)\)，\(\tau(\omega)=3\) 时是 \(X_3(\omega)\)。停止过程 \(X^\tau\) 为

到 \(\tau\) 之前跟着 \(X\) 走，之后保持不动。

8. 可选抽样定理

定理（OST）。 设 \(M\) 是鞅，\(\alpha\le\tau\) 是两个有界停时。则

对有界停时 \(\tau\) 的推论：

1. 停止过程 \(t\mapsto M_{t\wedge\tau}\) 是鞅；
2. \(E[M_\tau]=M_0\)；
3. 若 \(\tau\le T\)，权益在随机时刻 \(\tau\) 的价格为 \(V_\tau=E^{\mathbb Q}\big[e^{-r(T-\tau)}V_T\mid\mathcal F_\tau\big]\)——就是第 06 篇的定价公式把 \(t\) 换成 \(\tau\)。

直观：只要决定”什么时候看”的规则不偷看未来，公平的赌局就仍然公平。有界性很重要：”赢了就走”也是停时，但它是无界的，用它就可能 \(E[M_\tau]>M_0\)。

本系列目录

1. 01｜概率空间、信息流、条件期望与鞅
2. 02｜随机游走、二次变差与布朗运动
3. 03｜随机积分
4. 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动
5. 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母
6. 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理
7. 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时（本篇）

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。

导读

第 05 篇给看涨期权定了价。这一篇用一个公式给任意收益定价：

\(V_t=E^{\mathbb Q}\big[e^{-r(T-t)}V_T\mid\mathcal F_t\big]\)。

价格是净现值——但要在另一个概率测度 \(\mathbb Q\) 下算，在 \(\mathbb Q\) 下股票只赚无风险利率。然后回答几个自然的问题：测度变换是什么？为什么 \(\mathbb P\) 和 \(\mathbb Q\) 对什么可能发生意见一致，对多大可能意见不同？Girsanov 定理又是怎么通过平移布朗运动把 \(\mu\) 变成 \(r\) 的？

1. 从看涨期权到任意未定权益

回顾 Black–Scholes 设定。 \(\mathbb P\) 下 \(S\sim GBM(\mu,\sigma)\)；货币市场利率为常数 \(r\)；自融资策略 \(\Delta\)。贴现财富：

对看涨期权我们得到：令 \(\widetilde{\mathbb P}\) 下 \(\widetilde S\sim GBM(r,\sigma)\)，

初始资金 \(x=c(0,S_0)\)，策略 \(\Delta_t=c_s(t,S_t)\)，终值财富 \(X_T=(S_T-K)^+\)，由无套利，\(c(0,S_0)\) 就是价格。现在推广。

未定权益。 在 \(T\) 时支付 \(V_T\)，\(V_T\) 可以是任何足够可积的 \(\mathcal F_T\) 可测随机变量：

2. 两个假设与定价公式

1. 风险中性测度。 \((\Omega,\mathcal F)\) 上存在测度 \(\mathbb Q\)，使 \(\mathbb Q\) 下 \(S\sim GBM(r,\sigma)\)。等价地，存在 \(\mathbb Q\)-布朗运动 \(W^{\mathbb Q}\) 使

   \[\frac{dS_t}{S_t}=\underbrace{\mu\,dt+\sigma\,dW_t}_{\mathbb P\text{ 下}}=\underbrace{r\,dt+\sigma\,dW^{\mathbb Q}_t}_{\mathbb Q\text{ 下}}.\]

2. 可复制。 存在 \(x\) 和 \(\Delta\) 使 \(\mathbb P[X^{x,\Delta}_T=V_T]=\mathbb Q[X^{x,\Delta}_T=V_T]=1\)。

贴现财富是 \(\mathbb Q\)-鞅。 在 \(\mathbb Q\) 下漂移项消失：

所以 \(\mathbb Q\) 也叫鞅测度。

在 \([t,T]\) 上复制。 无套利论证从任何起始时间都成立：\(t\) 时持有 \(X_t\)（\(t\) 时已知），在 \([t,T]\) 上自融资交易，最后得到 \(V_T\)，那么 \(t\) 时的价格必须是 \(X_t\)。

确定 \(V_t\)。 由可复制，\(e^{-rT}X_T=e^{-rT}V_T\)。由鞅性质，

又因为 \(V_T=X_T=X_t+\int_t^TdX_u\)，\(t\) 时手里有 \(X_t\) 恰好足以交付 \(V_T\)，所以

怎么读。 推理链是：（i）复制组合就是这份权益，所以权益价格等于组合价值；（ii）\(\mathbb Q\) 下每个贴现自融资组合都是公平赌局，所以今天的贴现价值等于终值贴现后的期望；（iii）终值就是收益。价格是净现值——不是在真实测度下，而是在风险资产和无风险资产期望收益相同的测度下。

这两个假设引出五个问题：\(\mathbb Q\) 怎么得到？\(\mathbb P\) 和 \(\mathbb Q\) 什么关系？怎么在两者之间切换？为什么 \(\mathbb Q\) 下 \(S\sim GBM(r,\sigma)\)？\(W^{\mathbb Q}\) 从哪来？本篇剩下的部分逐一回答。

3. 换测度会改变什么

不受测度影响的（只涉及集合和映射）：

1. \(\Omega\)，结果的集合；
2. \(\mathcal F\)，信息（\(\Omega\) 的子集族）；
3. \(\mathbb F\)，信息流；
4. 随机变量 \(X:\Omega\to\mathbb R\)——只是一个映射；
5. 过程 \(\{X_t\}\)；
6. 适应性：\(\{\omega:X_t(\omega)\in E\}\in\mathcal F_t\)。

受测度影响的（涉及可能性）：

1. 概率 \(P(A)=E^P[\mathbf 1_A]\)；
2. 期望 \(E\big[\sum_i\alpha_i\mathbf 1_{A_i}\big]=\sum_i\alpha_iP(A_i)\)；
3. 矩母函数 \(\alpha\mapsto E^P[e^{\alpha X}]\)；
4. 分布 \(P(X\le t)\)；
5. 鞅性质 \(E[X_t\mid\mathcal F_s]=X_s\)；
6. 独立性 \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)。

所以股价路径还是那些路径，变的只是我们给它们的权重——漂移也随之改变。

4. 测度变换的构造

给定 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\)，任取随机变量 \(Z\)，\(\mathbb P[Z>0]=1\)（记作 \(Z>0\)）且 \(E^{\mathbb P}[Z]=1\)。定义

\(\mathbb Q\) 是概率测度：\(\mathbb Q(A)\ge0\)；\(\mathbb Q(\Omega)=E^{\mathbb P}[Z]=1\)；可列可加，比如 \(A,B\) 不交时 \(\mathbb Q(A\cup B)=E^{\mathbb P}[(\mathbf 1_A+\mathbf 1_B)Z]=\mathbb Q(A)+\mathbb Q(B)\)。

例：公平硬币变不公平硬币。 抛两次，\(\mathbb P\) 下公平且独立。令

则 \(\mathbb Q(HH)=\frac14\cdot\frac49=\frac19\)，\(\mathbb Q(HT)=\mathbb Q(TH)=\frac29\)，\(\mathbb Q(TT)=\frac49\)。\(\mathbb Q\) 下两次抛掷仍然独立（\(\frac19=\frac13\cdot\frac13\) 等），但硬币不公平了：\(\mathbb Q(H)=\frac13\)。

等价。 因为 \(Z>0\)：\(\mathbb P(A)>0\Rightarrow\mathbb Q(A)=E^{\mathbb P}[Z\mathbf 1_A]>0\)，反之亦然。所以 \(\mathbb P(A)>0\iff\mathbb Q(A)>0\)，称 \(\mathbb P,\mathbb Q\) 等价。等价不是相等：它们对什么能发生、什么不能发生意见一致，对可能性大小不必一致（\(\mathbb P(A)=0.01\)、\(\mathbb Q(A)=0.99\) 完全可以）。

Radon–Nikodym 导数。 \(\dfrac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}:=Z\)，也叫似然比。在有限空间上

5. 平移正态分布的均值

\(\mathbb P\) 下 \(X\sim N(0,\sigma^2)\)，\(\theta\in\mathbb R\)，\(Z=e^{-\theta X-\frac12\sigma^2\theta^2}\)。则 \(Z>0\)，\(E[Z]=e^{-\frac12\sigma^2\theta^2}E[e^{-\theta X}]=1\)。在 \(\mathbb Q(A)=E^{\mathbb P}[Z\mathbf 1_A]\) 下：

所以 \(X\overset{\mathbb Q}{\sim}N(-\sigma^2\theta,\ \sigma^2)\)，即 \(X+\sigma^2\theta\overset{\mathbb Q}{\sim}N(0,\sigma^2)\)。乘一个指数权重，均值平移，方差不变。

一般情形。 要把 \(\mathbb P\) 下的 \(N(\mu_P,\sigma^2)\) 变成 \(\mathbb Q\) 下的 \(N(\mu_Q,\sigma^2)\)，取 \(\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}=\frac{e^{-\theta X}}{E^{\mathbb P}[e^{-\theta X}]}=e^{-\theta X-\frac12\sigma^2\theta^2+\theta\mu_P}\)。则

6. 用到布朗运动和股价上

固定 \(T\)；\(\mathbb P\) 下 \(W_T\sim N(0,T)\)。取 \(\theta=\frac{\mu-r}{\sigma}\)，

由第 5 节（\(\sigma^2=T\)，\(\mu_P=0\)），\(\mathbb Q\) 下 \(W^{\mathbb Q}_T:=W_T+\theta T\sim N(0,T)\)。因为 \(\mu-\sigma\theta=r\)，

所以在固定的时刻 \(T\)，\(\mathbb Q\) 下 \(S_T\) 看起来像 \(GBM(r,\sigma)\)。要让 \(\mathbb Q\) 下 \(S\sim GBM(r,\sigma)\) 对所有 \(t\le T\) 成立，还需要更多：\(t\mapsto W^{\mathbb Q}_t=W_t+\theta t\) 是不是 \([0,T]\) 上的 \(\mathbb Q\)-布朗运动？等价地问

核心就是验证 \(W^{\mathbb Q}\) 是布朗运动。（注意 \(Z_t=E^{\mathbb P}[Z_T\mid\mathcal F_t]=e^{-\theta W_t-\frac12\theta^2t}\) 是 \(\mathbb P\)-鞅——第 04 篇的指数鞅。）

7. Girsanov 定理

简单版。 若 \(W\) 是 \(\mathbb P\)-布朗运动，\(Z_T=e^{-\theta W_T-\frac12\theta^2T}\)，\(\mathbb Q(A)=E^{\mathbb P}[\mathbf 1_AZ_T]\)，则

一般版。 固定 \((\widetilde\Omega,\widetilde{\mathcal F},\widetilde{\mathbb F},\widetilde{\mathbb P})\) 和 \(\widetilde{\mathbb P}\)-布朗运动 \(\widetilde W\)，以及适应的 \(\widetilde\theta\)。令

则 \(\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_t=\widetilde W_t+\int_0^t\widetilde\theta_u\,du\)（\(t\le T\)）是 \(\widetilde{\mathbb Q}\)-布朗运动。

直观：用 \(Z\) 给路径重新加权，让往下漂的路径更可能、往上漂的路径更不可能，调整的幅度正好把”布朗运动加漂移 \(\theta\)“变回无漂移的布朗运动。

Lévy 刻画

直接从定义证明某个过程是布朗运动很麻烦。Lévy 刻画是捷径：若 \(\widetilde M\) 是路径连续的 \(\widetilde{\mathbb Q}\)-鞅，\(\widetilde M_0=0\) 且 \([\widetilde M,\widetilde M]_t=t\)，则 \(\widetilde M\) 是 \(\widetilde{\mathbb Q}\)-布朗运动。

所以证明 Girsanov 只需要：（1）\([\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}},\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}]_t=t\)；（2）\(\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}\) 是 \(\widetilde{\mathbb Q}\)-鞅。

\(\mathbb Q\) 下的价格动态

由 Girsanov，\(W^{\mathbb Q}_t=W_t+\theta t\) 是 \([0,T]\) 上的 \(\mathbb Q\)-布朗运动；又 \(\mu-\sigma\theta=r\)，

\(\theta=\dfrac{\mu-r}{\sigma}\) 是风险的市场价格：每单位波动率的超额收益，也就是夏普比率。这就回答了第 2 节关于假设 1 的五个问题。

8. 假设 2：找对冲策略

先说好消息：\(\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}\big\vert_{\mathcal F_T}=Z_T>0\)，所以 \(\mathbb P\) 和 \(\mathbb Q\) 等价，只需证明 \(\mathbb Q[X_T=V_T]=1\)。

两个事实：

1. \(e^{-rt}X_t\) 是 \(\mathbb Q\)-鞅：\(d(e^{-rt}X_t)=e^{-rt}\Delta_tS_t\sigma\,dW^{\mathbb Q}_t\)。
2. \(M^V_t:=E^{\mathbb Q}[e^{-rT}V_T\mid\mathcal F_t]\) 是 \([0,T]\) 上的 \(\mathbb Q\)-鞅，由 Tower：\(E^{\mathbb Q}[M^V_t\mid\mathcal F_s]=E^{\mathbb Q}[e^{-rT}V_T\mid\mathcal F_s]=M^V_s\)。

我们想让这两个鞅成为同一个过程。假设 \(M^V\) 能写成随机积分，\(dM^V_t=\Gamma_t\,dW^{\mathbb Q}_t\)，\(\Gamma\) 适应。那么取

就有 \(d(e^{-rt}X_t)=e^{-rt}\Delta_tS_t\sigma\,dW^{\mathbb Q}_t=\Gamma_t\,dW^{\mathbb Q}_t=dM^V_t\)。两者都从 \(x=M^V_0=E^{\mathbb Q}[e^{-rT}V_T]\) 出发，”起点相同 + 动态相同”给出对所有 \(t\) 都有 \(e^{-rt}X_t=M^V_t\)，到 \(T\) 时 \(X_T=V_T\)。

剩下的问题——是不是每个 \(\mathbb Q\)-鞅都能写成 \(\int\Gamma\,dW^{\mathbb Q}\)？——由鞅表示定理回答（信息流由布朗运动生成时，答案是肯定的）。换句话说：在布朗运动驱动的世界里，每一个公平赌局都是一种股票交易策略，所以每一份权益都能被对冲——市场是完备的。

9. 二次协变差与分部积分

对连续的 \(X,Y\) 和 \([0,t]\) 的划分 \(\Pi\)，

对同一个 \(W\) 驱动的 Itô 过程 \(dX_t=\Theta_tdt+\Delta_tdW_t\)，\(dY_t=\phi_tdt+\psi_tdW_t\)，启发式 \(d[X,Y]_t=dX_t\,dY_t\) 给出

\(\Delta\equiv0\) 或 \(\psi\equiv0\) 时 \([X,Y]\equiv0\)。

随机分部积分。

仍是 Itô 过程。对光滑（没有 \(dW\) 项）的 \(f,g\)，括号项为零，回到普通的乘积法则 \(d(f_tg_t)=f_t\,dg_t+g_t\,df_t\)。

本系列目录

1. 01｜概率空间、信息流、条件期望与鞅
2. 02｜随机游走、二次变差与布朗运动
3. 03｜随机积分
4. 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动
5. 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母
6. 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理（本篇）
7. 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。

导读

期权的价格就是复制它所需要的本金。这一篇搭好 Black–Scholes 市场，写出自融资交易者的财富，再把它和期权价格过程逐项对齐（\(dW\) 项和 \(dt\) 项）。对齐 \(dW\) 项得到 Delta 对冲，对齐 \(dt\) 项得到 Black–Scholes 偏微分方程。解方程得到 Black–Scholes 公式，对公式求导得到希腊字母。

一个值得早点注意的意外：股票的期望收益率 \(\mu\) 从价格里消失了。

1. 市场

固定 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb F,\mathbb P)\) 和布朗运动 \(W\)。两种资产可交易：

1. 股票（风险资产），\(S\sim GBM(\mu,\sigma)\)：\(\dfrac{dS_t}{S_t}=\mu\,dt+\sigma\,dW_t\)，\(S_0>0\)。\(S_t(\omega)\) 是情景 \(\omega\) 下 \(t\) 时刻一股的价格。
2. 货币市场（无风险资产），\(\dfrac{dB_t}{B_t}=r\,dt\)，\(B_0=1\)：0 时刻的 1 元到 \(t\) 时刻变成 \(e^{rt}\) 元，\(r>0\) 为常数。

2. 自融资策略与财富

交易策略 \(\Delta\) 是适应过程；\(\Delta_t(\omega)\) 是 \((t,\omega)\) 时持有的股数。初始资金为 \(x\)。自融资：不在股票里的钱全部放在货币市场，0 时刻之后没有钱进出。

财富 \(X=X^{x,\Delta}\) 拆成

货币市场部分相当于持有 \((X_t-\Delta_tS_t)/B_t\) “股” \(B\)。

财富动态。 在 \([t,t+dt]\) 开始时定好头寸：

代入 \(S\) 和 \(B\) 的动态：

\(X\) 是 Itô 过程。读法：全部资金赚 \(r\)，股票部分再多赚超额收益 \(\mu-r\)，再加上噪声。

3. “价格”指的是什么

我们要给欧式看涨期权定价：在到期日 \(T\) 以执行价 \(K\) 买入 \(S\) 的权利，收益 \((S_T-K)^+=\max(S_T-K,0)\)。

无套利价格 = 复制成本。 如果从 \(x\) 出发、用某个 \(\Delta\) 自融资交易，最后以概率 1 得到 \(X^{x,\Delta}_T=(S_T-K)^+\)，那么看涨期权的价格必须是 \(x\)。任何别的价格都能让你卖贵的、买便宜的，无风险地赚差价。

起点相同 + 动态相同 = 同一个过程。 若 \(dY_t=\Theta^Y_tdt+\Delta^Y_tdW_t\)，\(dZ_t=\Theta^Z_tdt+\Delta^Z_tdW_t\)，且 \(Y_0=Z_0\)，\(\Theta^Y\equiv\Theta^Z\)，\(\Delta^Y\equiv\Delta^Z\)，则对所有 \(t\le T\) 以概率 1 有 \(Y_t=Z_t\)。这就是一句话版的复制论证：对齐起点，再对齐 \(dt\) 项和 \(dW\) 项。

4. 把财富和期权价格对齐

令 \(c(t,s)\) 为 \(S_t=s\) 时 \(t\) 时刻的看涨期权价格。已知 \(c(T,s)=(s-K)^+\)，要求 \(t<T\) 时的 \(c\)。用贴现后的过程（代数更简单）：\(e^{-rt}X_t\) 和 \(e^{-rt}c(t,S_t)\)。

贴现财富。 用第 04 篇的贴现公式，

贴现价格。 假设 \(c\) 光滑（严格说收益函数在 \(s=K\) 处不可微，但 \(t<T\) 时 \(c\) 是光滑的）。由 \(d[S,S]_t=\sigma^2S_t^2dt\)，记 \((\cdot)=(t,S_t)\)：

令 \(x=c(0,S_0)\) 并对齐：

• \(dW\) 项： \(e^{-rt}\Delta_t\sigma S_t=e^{-rt}c_s(t,S_t)\sigma S_t\)，所以

  \[\boxed{\ \Delta_t=c_s(t,S_t)\ }\quad\text{——Delta 对冲。}\]

• \(dt\) 项： \(\Delta_t(\mu-r)S_t=-rc+c_t+c_s\mu S_t+\frac12c_{ss}\sigma^2S_t^2\)。代入 \(\Delta_t=c_s\)，两边的 \(c_s\mu S_t\) 抵消，剩下

  \[0=-rc(t,S_t)+c_t(t,S_t)+rS_t\,c_s(t,S_t)+\tfrac12\sigma^2S_t^2\,c_{ss}(t,S_t).\]

只要对所有 \(t<T\)、\(s>0\) 都成立就够了，这就是 Black–Scholes 偏微分方程：

\(\mu\) 不见了。 对冲把股票的风险完全抵消掉了，所以股票预期涨多快和价格无关。

5. 解方程

两步：（1）假设解 \(c\) 存在，求出它的表达式；（2）验证这个表达式确实满足方程。

第 1 步。 令 \(\widetilde S\sim GBM(r,\sigma)\)，在某个测度 \(\widetilde{\mathbb P}\) 下、布朗运动为 \(\widetilde W\)——注意换了测度，漂移是 \(r\) 而不是 \(\mu\)。由 Itô，

所以贴现价格是 \(\widetilde{\mathbb P}\) 下的鞅。结合终值条件，

用 \(\widetilde S_t\) 表示 \(\widetilde S_T\)：

\(\widetilde S_t\) 在 \(t\) 时已知，\(\widetilde W_T-\widetilde W_t\perp\!\!\!\perp\widetilde{\mathcal F}_t\)，所以可以把 \(\widetilde S_t\) 固定为 \(s\)。由 \(\widetilde W_T-\widetilde W_t\sim N(0,T-t)\)：

算出这个积分就是 Black–Scholes 公式：

公式里只出现剩余期限 \(\tau=T-t\)，不出现绝对时间。

第 2 步。 直接验证这个 \(c\) 满足方程且 \(c(T,s)=(s-K)^+\)（是一道作业题；关键一步就是下面第 7 节验证的恒等式）。

6. 希腊字母

把 \(c\) 看成 \(c(t,s;T,K,r,\sigma)\)。对这些输入的敏感度就是希腊字母。记 \(\tau=T-t\)，\(d_\pm=d_\pm(\tau,s)\)。

Delta。 股价越高，看涨期权越值钱。复制策略是 \(\Delta_t=c_s(t,S_t)\)：只看 \(S\) 的一阶变化（假装 \(dt=0\)），\(dX_t=c_s\,dS_t=dc(t,S_t)\)，对冲和期权同步变动——我们是 Delta 中性的。

Gamma。 \(c_{ss}>0\)：看涨期权关于股价是凸的。看到 \(S\) 的二阶变化，

“做多凸性”的直观。 持有看涨期权、卖空 \(c_s\) 股。Delta 对冲是凸价格曲线的一条切线；股价无论往哪边跳，曲线都在切线上方，所以对冲后的组合从任意方向的变动里都赚到 \(\frac12c_{ss}(dS)^2\ge0\)。Gamma 在执行价附近最大，越临近到期越集中。

Theta。 \(c_t<0\)：其他条件不变时，随着时间流逝期权贬值。这是做多 Gamma 的代价：把所有二阶变化都算上，

而方程说这两者相等——完美对冲。Theta 恰好支付了 Gamma 的收益加上融资成本。

Vega。 \(c_\sigma>0\)：波动率越大，价格变动越大；上涨对看涨期权有利，下跌最多跌到 0。Vega 为正 = 做多波动率。

7. 验证：对冲是完美的

由 \(c=SN(d_+)-Ke^{-r\tau}N(d_-)\)，\(c_s=N(d_+)\)，\(c_{ss}=\frac{N'(d_+)}{\sigma S\sqrt\tau}\) 以及表中的 \(c_t\)，需要验证 \((c-c_sS)\,r=c_t+\frac12c_{ss}\sigma^2S^2\)：

Theta 项和 Gamma 项正好抵消。

8. 隐含波动率

在 Black–Scholes 下，收益率的条件均值和方差不随时间变化：

现实中波动率不是常数。估计它有两种办法：

• 用历史收益率算历史波动率（向后看）；
• 用期权价格反推隐含波动率（向前看）。

对到期日 \(T\)、执行价 \(K\) 的欧式看涨期权，记 \(C_{BS}(\sigma,K,T)\) 为 Black–Scholes 价格，\(C_m(K,T)\) 为市场价格。隐含波动率 \(\sigma_{imp}=\sigma_{imp}(K,T)\) 由下式定义：

因为 Vega \(>0\)，\(C_{BS}\) 关于 \(\sigma\) 单调递增，所以解唯一。期权通常用隐含波动率报价，而不是直接报价格。如果世界完全符合 Black–Scholes，对所有 \(K,T\) 都有 \(\sigma_{imp}(K,T)=\sigma\)。实际数据中 \(\sigma_{imp}\) 随执行价和期限变化——这就是波动率微笑 / 偏斜，是市场在告诉我们这个模型只是近似。

本系列目录

1. 01｜概率空间、信息流、条件期望与鞅
2. 02｜随机游走、二次变差与布朗运动
3. 03｜随机积分
4. 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动
5. 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母（本篇）
6. 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理
7. 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。

导读

Itô 公式是随机分析里的链式法则。和普通链式法则相比它多了一项 \(\frac12f''\,d[W,W]_t=\frac12f''\,dt\)，原因正是第 02 篇的 \([W,W]_t=t>0\)。

实际用时只需要二阶泰勒展开加上乘法表 \(dt^2=0,\quad dt\,dW_t=0,\quad (dW_t)^2=dt.\) 这一篇推导公式，推广到 Itô 过程，并用它搭出标准的股价模型——几何布朗运动。

1. 普通链式法则为什么不成立

对光滑路径 \(g\)，\(f(g_t)-f(g_0)=\int_0^tf'(g_u)\,g'_u\,du\)。照搬过来会得到 \(f(W_t)=f(W_0)+\int_0^tf'(W_u)\,dW_u\)。拿 \(f(x)=\frac12x^2\) 检验，它预测 \(\frac12W_t^2=\int_0^tW_u\,dW_u\)。用 \([0,t]\) 的划分直接算：

（验算：\(W_{t_{j-1}}W_{t_j}-W_{t_{j-1}}^2+\frac12(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})^2=\frac12W_{t_j}^2-\frac12W_{t_{j-1}}^2\)。）

多出来的 \(\frac12t\) 就是二次变差。所以链式法则需要二阶修正。

2. Itô 公式

\(W\) 是布朗运动，\(f\) 光滑：

简写：\(df(W_t)=f'(W_t)\,dW_t+\frac12f''(W_t)\,dt\)。注意 “\(df(W_t)\)” 本身没有意义——它只是积分方程的简写。

启发式推导。 二阶泰勒 \(f(x+y)-f(x)=f'(x)y+\frac12f''(x)y^2\)，令 \(x=W_t\)，\(y=dW_t\)，并用 \((dW_t)^2=d[W,W]_t\)：

这不严格——两项泰勒展开并不精确，把 \(dW_t\) 代进去也只是形式上的——但答案是对的，大家也都是这么用的。

两个例子。

• \(f(x)=e^x\)：\(e^{W_t}=1+\int_0^te^{W_u}\,dW_u+\frac12\int_0^te^{W_u}\,du\)。
• \(f(x)=\sin x\)：\(\sin W_t=\int_0^t\cos W_u\,dW_u-\frac12\int_0^t\sin W_u\,du\)。\(du\) 项会变号，所以 \(\sin W_t\) 既不是下鞅、上鞅，也不是鞅。

经验法则： \(dW\) 部分是鞅，\(dt\) 部分是漂移。\(W\) 的函数是鞅，当且仅当它的 \(dt\) 项为零。

3. 含时间的 Itô 公式

若 \(f(t,x)\) 的 \(f_t,f_x,f_{xx}\) 连续：

启发式推导。 二元泰勒

令 \(s=dt\)，\(y=dW_t\)，再用乘法表 \(dt^2=0\)，\(dt\,dW_t=0\)，\((dW_t)^2=dt\)。为什么两个交叉项消失？\(\Vert \Pi\Vert \to0\) 时

指数鞅（重要）

\(f(t,x)=e^{\alpha x-\frac12\alpha^2t}\) 有 \(f_t=-\frac12\alpha^2f\)，\(f_x=\alpha f\)，\(f_{xx}=\alpha^2f\)，\(dt\) 项正好抵消：

是鞅。\(-\frac12\alpha^2t\) 正是抵消 \(e^{\alpha W_t}\) 本来会有的漂移所需的 “Itô 修正”。

4. Itô 过程

Itô 过程同时含普通积分和随机积分：

\(\Theta,\Delta\) 适应且使积分存在，\(X_0\) 为常数。除非 \(\Theta\equiv0\)，\(A\) 不是鞅。

例：\(\Theta\equiv0,\ \Delta\equiv1,\ X_0=x\) 给出 \(X_t=x+W_t\)，从 \(x\) 出发的布朗运动；\(\Delta\equiv0\) 给出光滑过程 \(X_t=X_0+\int_0^t\Theta_u\,du\)。

二次变差。 只有 \(dW\) 部分有贡献：

对 Itô 过程积分。 对适应的 \(\Gamma\)，

要求 \(\int_0^t\vert\Gamma_u\Theta_u\vert du<\infty\) 且 \(E\int_0^t\Gamma_u^2\Delta_u^2du<\infty\)。若 \(X\) 是股价，这就是持有 \(\Gamma\) 股的交易盈亏。结果 \(Y_t=\int_0^t\Gamma_u\,dX_u\) 仍是 Itô 过程（只有 \(\Theta\equiv0\) 时才是鞅），\([Y,Y]_t=\int_0^t\Gamma_u^2\Delta_u^2\,du\)。

5. Itô 过程的 Itô 公式

对好的 \(f(t,x)\)（光滑、导数有界）：

代入 \(dX_t=\Theta_tdt+\Delta_tdW_t\) 和 \(d[X,X]_t=\Delta_t^2dt\)：

所以 Itô 过程的函数仍是 Itô 过程——但一般不保持鞅性（比如 \(W\) 是鞅，\(W^2\) 是下鞅）。

记法：假装二阶泰勒展开是精确的，再套乘法表，用 \(dt\,dX_t=dt(\Theta_tdt+\Delta_tdW_t)=0\) 和 \((dX_t)^2=\Delta_t^2dt\)。

贴现（第 05–06 篇天天用）。若 \(dY_t=\Theta_tdt+\Delta_tdW_t\)，对 \(f(t,y)=e^{-rt}y\)（\(f_t=-rf\)，\(f_y=e^{-rt}\)，\(f_{yy}=0\)）用公式：

6. 几何布朗运动

设 \(\mu=\{\mu_t\}\)，\(\sigma=\{\sigma_t\}\) 适应，\(\int_0^t\vert\mu_s\vert ds<\infty\)，\(E\int_0^t\sigma_s^2ds<\infty\)。（广义）几何布朗运动，记作 \(S\sim GBM(\mu,\sigma)\)：

这是最常用的股价模型。\(\mu,\sigma\) 为常数时

动态。 令 \(X_t=\int_0^t(\mu_u-\frac12\sigma_u^2)du+\int_0^t\sigma_udW_u\)，则 \(S_t=f(X_t)\)，\(f(x)=S_0e^x\)（\(f=f'=f''\)）：

\(dS_t/S_t\) 是 \([t,t+dt]\) 上的瞬时收益率。\(\mu_t,\sigma_t\) 是 \(\mathcal F_t\) 可测的，\(dW_t\perp\!\!\!\perp\mathcal F_t\)，所以

\(\mu\) 和 \(\sigma\) 就是收益率的漂移和波动率。指数里的 \(-\frac12\sigma^2\) 又是 Itô 修正：对数价格的增长比期望收益率慢。

7. 应用：确定性函数的随机积分服从正态

结论。 若 \(f\) 是确定性（非随机）的，则

方差 \(\int_0^tf_u^2du\) 正是 Itô 等距给出的；新的信息是分布是正态的。第 07 篇的 OU 过程会用到这个结论。

本系列目录

1. 01｜概率空间、信息流、条件期望与鞅
2. 02｜随机游走、二次变差与布朗运动
3. 03｜随机积分
4. 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动（本篇）
5. 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母
6. 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理
7. 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。

导读

随机积分其实就是累计的交易盈亏（P/L）：持有 \(\Delta\) 股，价格变动 \(dW\)，加起来。这一篇分三步构造 \(\int_0^t\Delta_s\,dW_s\)——离散时间、”买入持有”的简单策略、用逼近得到的一般策略，并说明同样的五条性质每一步都保留下来：

线性 · 适应 · 鞅 · Itô 等距 \(\mathrm{Var}[I_t]=E\int_0^t\Delta_s^2ds\) · \([I,I]_t=\int_0^t\Delta_s^2ds\)。

1. 离散时间：积分就是交易盈亏

设 \(M=\{M_n\}\) 是鞅（想成股价）。对交易策略 \(\Delta=\{\Delta_n\}\) 定义

\(\Delta_j\,dM_j\) 是 \([j-1,j]\) 上的盈亏，\(I_n\) 是 \([0,n]\) 上的累计盈亏。

可料（predictable）策略。 我们在 \([j-1,j]\) 上持有 \(\Delta_j\) 股，而投资时不能看到未来，所以 \(\Delta_j\) 必须在 \(j-1\) 时刻就已知：\(\Delta_j\) 是 \(\mathcal F_{j-1}\) 可测的。这样的 \(\Delta=\{\Delta_n\}_{n\ge1}\) 叫可料的（\(\Delta_0\) 没有定义，因为 \(\mathcal F_{-1}\) 不存在）。

\(I=\sum\Delta\,dM\) 的性质（\(\Delta\) 可料，\(M\) 是鞅）

1. 对 \(\Delta\) 线性： \(I(\alpha\Delta+\beta\psi)=\alpha I(\Delta)+\beta I(\psi)\)——拆开求和即可。
2. 适应： \(\Delta_1,\dots,\Delta_n\) 在 \(n-1\) 时刻已知，\(M_0,\dots,M_n\) 在 \(n\) 时刻已知，所以 \(I_n\) 是 \(\mathcal F_n\) 可测的。

3. 鞅： \(I_{n+1}-I_n=\Delta_{n+1}(M_{n+1}-M_n)\)，\(\Delta_{n+1}\) 是 \(\mathcal F_n\) 可测的，所以

   \[E[I_{n+1}-I_n\mid\mathcal F_n]=\Delta_{n+1}\,E[M_{n+1}-M_n\mid\mathcal F_n]=0.\]
4. 二次变差： \([I,I]_n=\sum_j\Delta_j^2(dM_j)^2=\sum_j\Delta_j^2\,d[M,M]_j\)。

5. 方差： \(I\) 是鞅且 \(I_0=0\)，由第 02 篇结论 1，

   \[\mathrm{Var}[I_n]=E\big[[I,I]_n\big]=E\Big[\sum_{j=1}^n\Delta_j^2\,d[M,M]_j\Big].\]

对随机游走，\(d[M,M]_j=1\)，所以 \([I,I]_n=\sum_j\Delta_j^2\)，\(\mathrm{Var}[I_n]=E\sum_j\Delta_j^2\)。

“鞅”这条的直观：只要下注前不知道硬币结果，怎么调整下注大小都赢不了公平的赌局。

2. 连续时间：为什么直接定义行不通

我们想要 \(I_t=\int_0^t\Delta_s\,dW_s\)（\(\Delta\)：被积函数，\(W\)：积分器；盈亏的解释不变）。自然的想法是黎曼和：

如果 \(W\) 光滑，中值定理会把它变成 \(\int_0^t\Delta_s\dot W_s\,ds\)。但 \(W\) 处处不可微（第 02 篇），\(\dot W_s\) 不存在，所以逐条路径取极限在通常意义下不存在。我们需要一种新的极限。

3. 简单（买入持有）被积函数

先回到”差不多是离散”的情形。固定 \(0=t_0<t_1<\dots<t_n\) 和 \(\mathcal F_{t_j}\) 可测的 \(\Delta_j\)，令

在 \((t_{j-1},t_j]\) 上持有 \(\Delta_{j-1}\) 股。对这种简单被积函数，积分可以直接写出来：

分段来看：\(t_{j-1}\le t\le t_j\) 时

\(t\ge t_n\) 之后不再变化——我们已经停止交易了。

简单 \(\Delta\) 的性质

• 线性、适应：和离散时间一样。
• 路径连续（新性质）：每一项 \(t\mapsto\Delta_{j-1}(W_{t\wedge t_j}-W_{t\wedge t_{j-1}})\) 都连续，因为 \(W\) 连续；有限个连续过程之和仍连续。

• 鞅。 取 \(t_{j-1}<s<t_j<t\)（相邻两段）：

  \[\begin{aligned} E[I_t-I_s\mid\mathcal F_s]&=E[\Delta_{j-1}(W_{t_j}-W_s)\mid\mathcal F_s]+E\big[E[\Delta_j(W_t-W_{t_j})\mid\mathcal F_{t_j}]\mid\mathcal F_s\big]\\ &=\Delta_{j-1}\cdot0+E[\Delta_j\cdot0\mid\mathcal F_s]=0. \end{aligned}\]

  关键在于头寸是在每段开始时选定的。

• Itô 等距： \(\mathrm{Var}[I_t]=E\Big[\int_0^t\Delta_s^2\,ds\Big]\)。
• 二次变差： \([I,I]_t=\int_0^t\Delta_s^2\,ds\)。

注意后两条的区别：\([I,I]_t\) 是逐条路径的随机量；等距是它的期望。

4. 一般被积函数：先逼近，再取 \(L^2\) 极限

固定 \(T>0\)。记 \(\mathcal L\) 为满足以下条件的被积函数 \(\Delta\) 的全体：

• 适应；
• 平方可积：\(E\Big[\int_0^T\Delta_s^2\,ds\Big]<\infty\)。

对 \(\Delta\in\mathcal L\) 和步长趋于 0 的划分 \(\Pi^n\)，把 \(\Delta\) 冻结在左端点：

\(\Delta^n\) 是 \(\Delta\) “只在网格时刻调仓”的简单版本，\(I^n\) 有明确定义。固定 \(\omega\) 时 \(\lim I^n_t(\omega)\) 不一定存在；我们改为取均方意义下的极限。

第 1 步——逼近是好的。 课上的一个关键结论：对 \(\Delta\in\mathcal L\)，

记作 \(\Delta^n\to\Delta\) 于 \(L^2([0,T]\times\Omega)\)。（直观：调仓网格越来越细，冻结后的策略在时间和情景上平均来说就越来越贴近真实策略。）

第 2 步——所以逼近序列是柯西列。 由 \((a+b)^2\le2a^2+2b^2\)，

第 3 步——等距把这一点传给积分。 由线性，\(I^n_t-I^m_t=I(\Delta^n-\Delta^m)_t\)，而 \(\Delta^n-\Delta^m\) 是简单的，所以

第 4 步——把积分定义为极限。 \(I^n\) 在均方意义下是柯西列，所以（作为过程）收敛到某个 \(I\)，定义

等距为什么是主角。 它说”策略 \(\mapsto\) 盈亏”这个映射保持距离：两个策略在 \(E\int(\cdot)^2\) 意义下接近，盈亏在方差意义下就接近。于是”逼近策略”自动给出”逼近积分”——即使没有任何一条路径按经典意义收敛。

5. 一般被积函数的性质

对 \(\Delta\in\mathcal L\) 全部保留：

• 线性： \(I(\alpha\Delta+\beta\psi)=\alpha I(\Delta)+\beta I(\psi)\)；
• 路径连续，\(I_0=0\)；
• 适应；
• 鞅；
• Itô 等距： \(\mathrm{Var}[I_t]=E\Big[\int_0^t\Delta_s^2\,ds\Big]\)；
• 二次变差： 逐条路径 \([I,I]_t=\int_0^t\Delta_s^2\,ds\)。

用微分记号：\(dI_t=\Delta_t\,dW_t\)，\(d[I,I]_t=\Delta_t^2\,dt=(\Delta_t\,dW_t)^2\)——与 \((dW_t)^2=dt\) 一致。

本系列目录

1. 01｜概率空间、信息流、条件期望与鞅
2. 02｜随机游走、二次变差与布朗运动
3. 03｜随机积分（本篇）
4. 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动
5. 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母
6. 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理
7. 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。

导读

布朗运动最好理解的方式，是把它看成抛硬币游戏的极限。这一篇从随机游走出发，引入让随机分析和普通微积分分道扬镳的那个量——二次变差，然后说明布朗运动继承了这一切：它是鞅，\(W_t^2-t\) 是鞅，并且 \([W,W]_t=t\)。

要记住的结论：\((dW_t)^2=dt\)。 光滑曲线的二次变差是 0，布朗运动的路径不是，Itô 公式多出来的那一项就来自这里。

1. 随机游走

取无穷次公平抛硬币的空间，\(\omega=(\omega_1,\omega_2,\dots)\)，各次独立。定义

\(Z_j\) 独立同分布，\(EZ_j=0\)，\(\mathrm{Var}(Z_j)=EZ_j^2=1\)。\(M\) 就是随机游走，\(Z_n=M_n-M_{n-1}\) 是它的增量。

性质。

1. \(M\) 是鞅。 \(\mathcal F_n\) = 前 \(n\) 次抛掷的信息；\(Z_{n+1}\) 只依赖第 \(n+1\) 次，所以 \(Z_{n+1}\perp\!\!\!\perp\mathcal F_n\)：

   \[E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=E[M_n+Z_{n+1}\mid\mathcal F_n]=M_n+E[Z_{n+1}]=M_n.\]
2. 独立增量。 \(0\le m<n\le p<q\) 时，\(M_n-M_m=\sum_{j=m+1}^nZ_j\) 与 \(M_q-M_p=\sum_{j=p+1}^qZ_j\) 用的是不相交的抛掷，所以独立。

3. 增量的均值和方差。 \(E[M_n-M_m]=0\)，且

   \[\mathrm{Var}(M_n-M_m)=\sum_{i,j=m+1}^nE[Z_iZ_j]=n-m,\qquad E[Z_iZ_j]=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\ne j.\end{cases}\]

2. 随机游走的平方

\(M_n^2\) 不是鞅——它会往上漂：

所以 \(M^2\) 是下鞅；减掉漂移就修好了：\(Y_n:=M_n^2-n\) 满足 \(E[Y_{n+1}\mid\mathcal F_n]=M_n^2+1-(n+1)=Y_n\)，是鞅。

3. 二次变差（离散时间）

过程 \(X=\{X_n\}\) 的二次变差是一个过程：

它把增量的平方加起来，衡量路径有多粗糙。（定义本身不要求 \(X\) 是鞅。）

• 随机游走：每个增量都是 \(\pm1\)，所以对每个 \(\omega\) 都有 \([M,M]_n=n\)——硬币不公平也一样。这是特例；一般来说 \([X,X]_n\) 同时依赖 \(n\) 和 \(\omega\)。

• \(Y_n=M_n^2-n\)：用 \(M_j=M_{j-1}+Z_j\) 和 \(Z_j^2=1\)，

  \[[Y,Y]_n=\sum_{j=1}^n\big(Z_j^2+2Z_jM_{j-1}-1\big)^2=\sum_{j=1}^n4M_{j-1}^2,\]

  确实随 \(\omega\) 变化。

鞅与二次变差的两个结论

结论 1。 若 \(X\) 是鞅且 \(X_0=0\)，则 \(\mathrm{Var}(X_n)=E\big[[X,X]_n\big]\)。

结论 2（二次变差是补偿项）。 若 \(X\) 是鞅且 \(EX_n^2<\infty\)，则 \(\{X_n^2-[X,X]_n\}\) 是鞅。

\([X,X]_n\) 只增不减，所以 \(X_n^2\) 本身是下鞅；必须补偿（减掉）\([X,X]\) 才是鞅，这就是 \([X,X]\) 又叫补偿项（compensator）的原因。前面的 \(M_n^2-n\) 就是 \([M,M]_n=n\) 的特例。

4. 从随机游走到布朗运动

随机游走和布朗运动的共同点：独立增量，增量均值为 0、方差等于经过的时间。不同点：\(M\) 是离散时间、整数跳；\(W\) 是连续时间、取任意实数。

缩放随机游走。 时间加速 \(n\) 倍，跳幅缩到 \(1/\sqrt n\)：

• 独立增量： 从 \(M\) 继承。

• 均值和方差对得上： 取 \(ns,nt\) 为整数，

  \[E[W^{(n)}_t-W^{(n)}_s]=0,\qquad \mathrm{Var}[W^{(n)}_t-W^{(n)}_s]=\frac1n\,\mathrm{Var}[M_{nt}-M_{ns}]=\frac{nt-ns}{n}=t-s.\]

• 极限是正态（中心极限定理）：

  \[W^{(n)}_t-W^{(n)}_s=\underbrace{\sqrt{\frac{\lfloor nt\rfloor-\lfloor ns\rfloor}{n}}}_{\to\sqrt{t-s}}\cdot\underbrace{\frac1{\sqrt{\lfloor nt\rfloor-\lfloor ns\rfloor}}\sum_{j=\lfloor ns\rfloor+1}^{\lfloor nt\rfloor}Z_j}_{\to N(0,1)\text{（CLT）}}\ \Longrightarrow\ N(0,t-s).\]

所以 \(W^{(n)}\to W\)：布朗运动是存在的，它就是从很远的地方看一场抛硬币游戏。（注意 CLT 里的”\(n\)“是这段时间里的抛掷次数 \(\lfloor nt\rfloor-\lfloor ns\rfloor\)。）

5. 布朗运动的性质

回忆第 01 篇的定义：\(W_0=0\)；路径连续；\(W_t-W_s\sim N(0,t-s)\)；独立增量。若 \(W\) 还适应于 \(\mathbb F\) 且 \(W_t-W_s\perp\!\!\!\perp\mathcal F_s\)，就说它是关于 \(\mathbb F\) 的布朗运动。

1. 鞅。 第 01 篇已证。连续时间下上鞅、下鞅以及 \(EX_t\) 的单调性和离散时间完全一样。

2. 协方差。 \(s<t\) 时，减一项加一项凑出独立增量：

所以 \((W_s,W_t)\) 联合正态：

3. 条件分布与马尔可夫性。 用 \(Y\sim N(\mu,\sigma^2)\) 时 \(E[e^{\alpha Y}]=e^{\alpha\mu+\frac12\alpha^2\sigma^2}\)：

给定到 \(s\) 为止的一切，\(W_t\) 的分布只依赖 \(W_s\)——这就是马尔可夫性。转移密度为

读作”用时间 \(\tau\) 从 \(y\) 走到 \(x\) 附近”。

4. \(W_t^2-t\) 是鞅。 用 \(W_t^2=(W_t-W_s)^2+2(W_t-W_s)W_s+W_s^2\)：

这是 \(M_n^2-n\) 的连续时间版本。

6. 连续时间的二次变差

固定 \(t\) 和划分 \(\Pi=\{0=t_0<t_1<\dots<t_n=t\}\)，步长 \(\Vert \Pi\Vert =\max_j(t_j-t_{j-1})\)。定义

区间上的 \([X,X]_{[s,t]}\) 同样定义，且二次变差是累加的：\([X,X]_t=[X,X]_s+[X,X]_{[s,t]}\)。

定理。 以概率 1，\([W,W]_t=t\)，\([W,W]_{[s,t]}=t-s\)。

直观。 缩放随机游走 \([W^{(n)},W^{(n)}]_t=\frac1n\lfloor nt\rfloor\in[t-\frac1n,t]\)，而 \(W^{(n)}\to W\)。

结论 2 也推广到连续时间：若 \(X\) 是连续鞅且 \(EX_t^2<\infty\)，则 \(X_t^2-[X,X]_t\) 是鞅（证明要用第 04 篇的 Itô 公式）。

7. 布朗运动的路径为什么必须粗糙

路径的一阶变差是 \(FV(X)_t=\lim_{\Vert \Pi\Vert \to0}\sum_j\vert X_{t_j}-X_{t_{j-1}}\vert\)。对光滑路径，由中值定理

一阶变差有限 ⟹ 二次变差为 0（路径连续时）：

而 \([W,W]_t=t>0\)，所以布朗运动的路径一阶变差不可能有限；事实上它以概率 1 处处不可微。

这种粗糙不是缺点：如果价格路径是光滑的，局部就是可预测的，可预测就意味着套利。

大家都在用的启发式写法。 对 \([W,W]_t=t\) 求微分得 \(d[W,W]_t=dt\)，人们写成

想的是 \([W,W]_{[t,t+dt]}\approx\sum(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})^2\)。开方说”\(dW_t=\sqrt{dt}\)“没有意义，但乘法规则 \((dW_t)^2=dt\) 完全正确，第 04 篇整篇都靠它。

本系列目录

1. 01｜概率空间、信息流、条件期望与鞅
2. 02｜随机游走、二次变差与布朗运动（本篇）
3. 03｜随机积分
4. 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动
5. 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母
6. 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理
7. 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。

导读

这个系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析） 时的课堂笔记，整理成 7 篇。

整门课都挂在一句话上：“Let \(W\) be a Brownian motion adapted to a filtration \(\mathbb F\). Then \(W\) is a martingale.” 这一篇把这句话里的每个词拆开讲清楚——概率空间、随机变量、信息流（filtration）、适应、条件期望、鞅，后面几篇就可以直接拿来用。

1. 概率空间 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\)

• \(\Omega\)：样本空间，\(\omega\in\Omega\) 是一个结果（”世界的一种情景”）。
• \(\mathcal F\)：事件的集合。事件是一组结果，所以每个 \(A\in\mathcal F\) 都是 \(\Omega\) 的子集。
• \(\mathbb P\)：概率函数，\(\mathbb P:\mathcal F\to[0,1]\)。

一个容易忽略的点：\(\mathbb P\) 是定义在 \(\mathcal F\) 上的函数，不是定义在 \(\Omega\) 上的。 所以 \(\mathbb P[\omega]\) 没有定义；\(\mathbb P[\{\omega\}]\) 只有在 \(\{\omega\}\in\mathcal F\) 时才有定义。

例：有限、等可能的空间。 \(\Omega=\{1,2,\dots,N\}\)，\(\mathcal F=2^\Omega\)（幂集，\(\Omega\) 的所有子集）。此时每个单点集都是事件，对 \(A\in\mathcal F\)

2. 随机变量、期望、独立

随机变量（r.v.）就是一个函数 \(X:\Omega\to\mathbb R\)：输入一个结果，输出一个数。

• 离散型： \(X\) 只取可数个值 \(E_X=\{x_1,x_2,\dots\}\)。概率质量函数 \(p(x)=\mathbb P[\{\omega:X(\omega)=x\}]=\mathbb P[X=x]\)，\(x\notin E_X\) 时 \(p(x)=0\)。
• 连续型（密度 \(f\)）： 对每个（Borel）集合 \(E\subseteq\mathbb R\)，\(\mathbb P(X\in E)=\int_Ef(x)\,dx\)。

期望是 \(X\) 按 \(\mathbb P\) 加权的平均：

均值 \(=E(X)\)，方差 \(=E[(X-EX)^2]\)，\(N\) 阶中心矩 \(=E[\vert X-EX\vert ^N]\)。

独立。 \(X\perp\!\!\!\perp Y\) 当且仅当对所有（好的）函数 \(f,g\)

记住 \(E^{\mathbb P}\) 的上标：第 06 篇会换掉 \(\mathbb P\)，这里所有的平均都会跟着变。

3. 随机过程与样本路径

随机过程是一族按时间编号的随机变量：

• 离散时间：\(X=\{X_0,X_1,X_2,\dots\}\)；
• 连续时间：\(X=\{X_t\}_{t\ge0}\)。

最清楚的理解方式是把过程看成两个变量的函数 \(X:[0,\infty)\times\Omega\to\mathbb R\)：

• 固定 \(t\)：\(\omega\mapsto X_t(\omega)\) 是一个随机变量；
• 固定 \(\omega\)：\(t\mapsto X_t(\omega)\) 是一条曲线，叫样本路径。每个情景 \(\omega\) 画出自己的一条曲线，所以随机过程就是”随机的曲线”。

若对所有 \(\omega\)，\(t\mapsto X_t(\omega)\) 都连续，就说 \(X\) 有连续的样本路径。

4. 布朗运动（初见）

过程 \(W=\{W_t\}_{t\ge0}\) 是布朗运动，如果

1. 以概率 1，\(W_0=0\)；
2. 以概率 1，样本路径 \(t\mapsto W_t\) 连续；
3. 对 \(0\le s<t\)：\(W_t-W_s\sim N(0,\,t-s)\)；
4. 对 \(0\le s<t\le u<v\)：\(W_v-W_u\) 与 \(W_t-W_s\) 独立。

（本系列中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律是方差。长度为 \(t-s\) 的时间段上，增量的方差是 \(t-s\)，标准差是 \(\sqrt{t-s}\)。）

5. 信息流：只增不减的信息

离散时间。 \(\mathbb F=\{\mathcal F_n\}_{n\ge0}\) 是信息流，如果每个 \(\mathcal F_n\subseteq\mathcal F\) 都是 \(\sigma\)-代数，且 \(m\le n\) 时 \(\mathcal F_m\subseteq\mathcal F_n\)。

连续时间。 \(\mathbb F=\{\mathcal F_t\}_{t\ge0}\)，\(0\le s\le t\) 时 \(\mathcal F_s\subseteq\mathcal F_t\subseteq\mathcal F\)。

把 \(\mathcal F_t\) 读作”到时刻 \(t\) 为止我们知道的一切”。唯一的要求是：信息只会越来越多，不会忘记。

由过程生成的信息流。 \(\mathcal F^X_n:=\sigma(X_0,\dots,X_n)\)，连续时间下 \(\mathcal F^X_t:=\sigma(X_s:0\le s\le t)\)——只看 \(X\) 到现在为止的走势所能得到的信息（包含这些信息的最小 \(\sigma\)-代数）。

6. 适应与可测

\(X\) 适应于 \(\mathbb F\)，如果 \(\mathbb F\) 里的信息在每个时刻都足以知道 \(X\)：

• \(X_t\) 是 \(\mathcal F_t\) 可测的（”mbl”），即
• 对每个好的 \(E\subseteq\mathbb R\)，\(\{\omega:X_t(\omega)\in E\}\in\mathcal F_t\)。

直观：在时刻 \(t\)，只要知道 \(\mathcal F_t\)，就能读出 \(X_t\) 这个数，不需要偷看未来。

布朗运动的信息流。 称 \(\mathbb F\)（不一定是 \(\mathbb F^W\)）是 \(W\) 的信息流，如果

• \(W\) 适应于 \(\mathbb F\)；
• 对所有 \(0\le s<t\)，\(W_t-W_s\) 与 \(\mathcal F_s\) 独立。

第二条的意思是：今天知道的一切，对明天的增量毫无帮助。

7. 条件期望

固定随机变量 \(X\) 和子 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal G\subseteq\mathcal F\)。条件期望 \(E[X\mid\mathcal G]\) 是一个随机变量，满足两条：

1. 可测性： \(E[X\mid\mathcal G]\) 是 \(\mathcal G\) 可测的（知道 \(\mathcal G\) 就知道它）；
2. 部分平均（partial averaging）： 对每个 \(A\in\mathcal G\)，

含义：\(E[X\mid\mathcal G]\) 是给定 \(\mathcal G\) 中信息时对 \(X\) 的最佳猜测。

部分平均的直观。 把 \(\mathcal G\) 想成把 \(\Omega\) 切成若干块”你分得清的区域”。在每一块 \(A\) 上，猜测值 \(E[X\mid\mathcal G]\) 的平均必须和 \(X\) 本身的平均一样。所以条件期望就是”在每个你能区分的区域内把 \(X\) 平均一下”——保留 \(\mathcal G\) 看得见的细节，抹平其余部分。例：抛两次硬币，\(X=\) 正面次数，\(\mathcal G=\) “第一次的结果”。在 \(\{H\ast\}\) 上猜测值是 \(1.5\)，在 \(\{T\ast\}\) 上是 \(0.5\)；验证 \(E[\mathbf 1_{\{H\ast\}}X]=\tfrac14(2+1)=\tfrac34=\tfrac12\cdot1.5\)。

性质（天天要用）

1. 记号： 若 \(\mathcal G=\sigma(Y)\)，写 \(E[X\mid Y]\)。
2. 独立： 若 \(X\perp\!\!\!\perp\mathcal G\)，则 \(E[X\mid\mathcal G]=E[X]\)。
3. 已知： 若 \(X\) 是 \(\mathcal G\) 可测的，则 \(E[X\mid\mathcal G]=X\)。
4. 线性： \(E[\alpha X+\beta Y\mid\mathcal G]=\alpha E[X\mid\mathcal G]+\beta E[Y\mid\mathcal G]\)。
5. 提出已知量（TOWK）： 若 \(X\) 是 \(\mathcal G\) 可测的，\(E[XY\mid\mathcal G]=X\,E[Y\mid\mathcal G]\)。
6. 塔性质（Tower）： 若 \(\mathcal H\subseteq\mathcal G\subseteq\mathcal F\)，则 \(E\big[E(X\mid\mathcal G)\mid\mathcal H\big]=E[X\mid\mathcal H]\)。

Tower 的记法：信息少的那个说了算；写成时间形式时，越靠后的时间放在越里面。

用在过程上。 \(X\) 适应，\(0\le s<t<u\)：

在时刻 \(s\)，\(X_s\) 就像常数；Tower 说的是”求平均在时间上是一致的”。

8. 鞅

定义（连续时间）。 适应过程 \(X\) 是鞅，如果对所有 \(0\le s<t\)

离散时间同理（换成 \(n,m\)）；只需检查一步：对所有 \(n\)，\(E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n\)。

• 上鞅（\(\searrow\)）：\(E[X_t\mid\mathcal F_s]\le X_s\)——未来平均来说更小。
• 下鞅（\(\nearrow\)）：\(E[X_t\mid\mathcal F_s]\ge X_s\)。

取期望（用 Tower）：上鞅的 \(t\mapsto E[X_t]\) 不增，鞅为常数，下鞅不减。

直观：鞅就是公平的赌局。给定你所知道的一切，对明天的最佳预测就是今天的值。

布朗运动是鞅

设 \(\mathbb F\) 是 \(W\) 的信息流，\(s<t\)：

这个技巧——把 \(W_t\) 写成 \((W_t-W_s)+W_s\)，”未来的增量加上已知的部分”——后面会反复用到。

本系列目录

1. 01｜概率空间、信息流、条件期望与鞅（本篇）
2. 02｜随机游走、二次变差与布朗运动
3. 03｜随机积分
4. 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动
5. 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母
6. 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理
7. 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。

导读

系列最后一篇，把区间估计和假设检验全部整理成表：单正态总体、两正态总体的各种情形，大样本方法，以及 u、t、χ²、F 检验。

记这些表格有个窍门：区间和检验用的是同一个枢轴量。先想清楚“在什么条件下，哪个统计量服从什么分布”，区间和拒绝域都能自己推出来。文末附上从习题中推出的常用结论。

记号：\(u_p\)、\(t_p\)、\(\chi^2_p\)、\(F_p\) 都是下侧 \(p\) 分位数。置信水平为 \(1-\alpha\)。

1. 置信区间与枢轴量（P343～P352，指导书 P369）

枢轴量法：构造一个只含待估参数、分布已知且与参数无关的函数 \(G\)（枢轴量），由 \(P(a\le G\le b)=1-\alpha\) 反解出参数的区间。

单个正态总体 \(N(\mu,\sigma^2)\)

两个正态总体 \(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)（样本量 \(m\)），\(Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)（样本量 \(n\)）

\(\mu_1-\mu_2\) 的置信区间

\(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) 的置信区间（\(\mu_1,\mu_2\) 未知）

大样本置信区间（会推）

\(X\sim b(1,p)\)，由中心极限定理 \(\dfrac{\bar x-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\ \dot\sim\ N(0,1)\)，将分母中的 \(p\) 用 \(\bar x\) 代替，得到

2. 假设检验汇总

假设检验的基本步骤（P357）：见第 1 篇。
p 值：在 \(H_0\) 成立的条件下，得到“和当前观测值一样极端或更极端”结果的概率。p 值 \(\le\alpha\) 时拒绝 \(H_0\)。

单个正态总体均值 \(\mu\) 的检验（P369）

（\(u_0\)、\(t_0\) 为统计量的观测值，\(T\sim t(n-1)\)。）

两个正态总体均值差的检验（P373）

原假设都写成 \(H_0:\mu_1-\mu_2=0\)（或 \(\le0\)、\(\ge0\)），拒绝域的方向同上表。

方差的检验

区间估计与检验的对偶关系：\(\mu=\mu_0\) 的双侧检验在水平 \(\alpha\) 下被接受，当且仅当 \(\mu_0\) 落在 \(1-\alpha\) 置信区间内。

势函数（P360）：例如对 u 检验 \(H_0:\mu\le\mu_0\) vs \(H_1:\mu>\mu_0\)，

它是 \(\mu\) 的增函数；在 \(\mu=\mu_0\) 处等于 \(\alpha\)。

3. 习题推得的结论汇总

本系列目录

1. 01｜概念简答索引
2. 02｜常用分布
3. 03｜多维分布、协方差与条件期望
4. 04｜特征函数、大数定律与中心极限定理
5. 05｜抽样分布、次序统计量与充分统计量
6. 06｜参数估计
7. 07｜区间估计、假设检验与习题结论（本篇）

系列完结，感谢一路看到这里。　·　← 上一篇：参数估计

本系列是我复习茆诗松、程依明、濮晓龙《概率论与数理统计教程》时整理的笔记，共 7 篇。文中 P××× 为茆书页码，“指导书”为配套的学习指导与习题解答。如有错漏，欢迎指出。

导读

参数估计这一章的性质特别容易混：无偏性有没有不变性？矩估计唯一吗？MLE 呢？

这一篇先用一张表把这些“唯一 / 不变”的结论对照清楚，再整理相合性、UMVUE、充分性原则和 Cramér-Rao 不等式这几个需要会证的定理，最后用一个共轭先验的例子讲贝叶斯估计。

1. 两种点估计方法

矩估计（替换原理）：用样本矩替换总体矩，用样本矩的函数替换总体矩的同一函数。
例：\(E(X)=\mu\Rightarrow\hat\mu=\bar x\)；\(\mathrm{Var}(X)=\sigma^2\Rightarrow\hat\sigma^2=s_n^2\)。

最大似然估计：\(L(\theta)=\prod_{i=1}^np(x_i;\theta)\)，通常解对数似然方程 \(\frac{\partial\ln L}{\partial\theta}=0\)。

• 正态总体（P316）：\(\hat\mu=\bar x\)，\(\hat\sigma^2=s_n^2=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2\)
• 支撑依赖参数时不能求导，要直接看 \(L\) 的单调性。例：\(U(0,\theta)\) 时 \(L(\theta)=\theta^{-n}I_{\{\theta\ge x_{(n)}\}}\)，在 \(\theta\ge x_{(n)}\) 上递减，所以 \(\hat\theta=x_{(n)}\)。

2. 性质对照（哪些“唯一”、哪些“不变”）

3. 相合性

定理 6.2.1（P310，会证）：若 \(\lim_{n\to\infty}E(\hat\theta_n)=\theta\)，且 \(\lim_{n\to\infty}\mathrm{Var}(\hat\theta_n)=0\)，则 \(\hat\theta_n\) 是 \(\theta\) 的相合估计。

定理 6.2.2（P311，会证）：若 \(\hat\theta_{n1},\dots,\hat\theta_{nk}\) 分别是 \(\theta_1,\dots,\theta_k\) 的相合估计，\(\eta=g(\theta_1,\dots,\theta_k)\) 是连续函数，则 \(\hat\eta_n=g(\hat\theta_{n1},\dots,\hat\theta_{nk})\) 是 \(\eta\) 的相合估计。

MLE 的渐近正态性（指导书 P328）：在一定正则条件下，

其中 \(n\) 为样本容量，\(I(\theta)\) 为费希尔信息量。所以 MLE 同时具有相合性和渐近正态性，而且渐近方差达到了 C-R 下界（渐近有效）。

4. 均方误差与有效性

均方误差（P323）

无偏估计的 MSE 就是方差。有偏估计的 MSE 可能反而更小。例：正态总体中，\(\sigma^2\) 的估计 \(\frac1{n+1}\sum(x_i-\bar x)^2\) 的 MSE 比 \(s^2\) 更小。

5. UMVUE

定理 6.4.1（P325，会证）：设 \(\hat\theta\) 是 \(\theta\) 的无偏估计，\(\mathrm{Var}(\hat\theta)<\infty\)。则 \(\hat\theta\) 是 \(\theta\) 的 UMVUE，当且仅当对任意满足 \(E(\varphi)=0\)、\(\mathrm{Var}(\varphi)<\infty\) 的统计量 \(\varphi\)（即“零的无偏估计”），都有

一句话：UMVUE 必与任一零的无偏估计不相关。

定理 6.4.2 充分性原则（P327，会证）：设 \(T\) 是充分统计量，\(\hat\theta\) 是 \(\theta\) 的无偏估计，令 \(\tilde\theta=E(\hat\theta\mid T)\)，则 \(\tilde\theta\) 也是 \(\theta\) 的无偏估计，并且 \(\mathrm{Var}(\tilde\theta)\le\mathrm{Var}(\hat\theta)\)。

直观理解：好的估计只应依赖于充分统计量，对充分统计量取条件期望只会让估计更好（至少不会更差）。所以找 UMVUE，只需在充分统计量的函数中找。

6. 费希尔信息量与 C-R 不等式

费希尔信息量（P329）

第二个等号见习题 6.4.5，计算时通常用二阶导更方便。\(I(\theta)\) 越大，一个样本中关于 \(\theta\) 的信息越多。

☆ 定理 6.4.3 Cramér-Rao 不等式（P329，会证）：在正则条件下，若 \(T\) 是 \(g(\theta)\) 的无偏估计，则

特别地，\(\theta\) 的任一无偏估计的方差 \(\ge\dfrac1{nI(\theta)}\)。达到下界的无偏估计称为有效估计。

常见分布的费希尔信息量（指导书 P341）

例：泊松总体中 \(\mathrm{Var}(\bar x)=\frac\lambda n=\frac{1}{nI(\lambda)}\)，所以 \(\bar x\) 是 \(\lambda\) 的有效估计。

7. 贝叶斯估计

后验分布公式

其中 \(\pi(\theta)\) 为先验分布，\(m\) 为样本的边际分布。一般用后验均值 \(E(\theta\mid\boldsymbol x)\) 作为 \(\theta\) 的贝叶斯估计。

共轭先验示例：\(x_i\sim b(1,p)\)，先验 \(p\sim Be(a,b)\)，则后验为 \(Be\left(a+\sum x_i,\ b+n-\sum x_i\right)\)，贝叶斯估计为

直观理解：先验相当于“事先看过 \(a+b\) 次试验，其中成功了 \(a\) 次”，再和真实数据合在一起算频率。

本系列目录

1. 01｜概念简答索引
2. 02｜常用分布
3. 03｜多维分布、协方差与条件期望
4. 04｜特征函数、大数定律与中心极限定理
5. 05｜抽样分布、次序统计量与充分统计量
6. 06｜参数估计（本篇）
7. 07｜区间估计、假设检验与习题结论

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本系列是我复习茆诗松、程依明、濮晓龙《概率论与数理统计教程》时整理的笔记，共 7 篇。文中 P××× 为茆书页码，“指导书”为配套的学习指导与习题解答。如有错漏，欢迎指出。

导读

从这一篇开始进入数理统计。样本均值 \(\bar x\)、样本方差 \(s^2\) 和 \(\chi^2\)、t、F 三大分布，是后面所有区间估计和假设检验的“原材料”。

其中最核心的一个定理是：正态样本下，\(\bar x\) 与 \(s^2\) 相互独立（定理 5.4.1）。后面几乎所有枢轴量都建立在它上面，所以一定要会证。

1. 样本均值与样本方差

样本方差（P267）

计算用的恒等式（记住，方便计算）：

配凑证明时常用（习题 5.3.10）：\(\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2=\sum_{i=1}^nx_i^2+2\sum_{i<j}x_ix_j\)。

递推公式（习题 5.3.4）：记 \(\bar x_n=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i\)，\(s_n^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x_n)^2\)，则

样本均值的平方偏差最小（P264，定理 5.3.2）：\(\sum(x_i-\bar x)^2\le\sum(x_i-c)^2\)，对任意常数 \(c\) 成立。

定理 5.3.3（P265）：\(\bar x\) 的分布

• 总体为 \(N(\mu,\sigma^2)\) 时：\(\bar x\sim N(\mu,\sigma^2/n)\)（精确成立）
• 总体任意，但方差 \(\sigma^2\) 存在时：\(n\) 较大时 \(\bar x\ \dot\sim\ N(\mu,\sigma^2/n)\)（由中心极限定理）

定理 5.3.4（P268，会证）：若总体二阶矩存在，则

2. 次序统计量

单个次序统计量的分布（P273，背记）：总体密度为 \(p(x)\)、分布函数为 \(F(x)\) 时，

特别地：

注意：密度公式只适用于连续总体，对离散分布不成立。离散时应从分布函数出发：\(F_{(n)}(x)=[F(x)]^n\)，\(F_{(1)}(x)=1-[1-F(x)]^n\)。

多个次序统计量的分布（P274；定理 5.3.6 的应用见习题 5.3.22、5.3.23）：\((x_{(i)},x_{(j)})\)，\(i<j\)，联合密度为

全部次序统计量的联合密度为 \(n!\prod_{i=1}^np(y_i)\)，\(y_1<\dots<y_n\)。
例（习题 5.3.34）：\(X\sim U(0,\theta)\) 时，\((x_{(1)},\dots,x_{(n)})\) 的联合密度为 \(\frac{n!}{\theta^n}\)，\(0<u_1\le\dots\le u_n\le\theta\)。

均匀分布的次序统计量

• 例 5.3.8（P274）：总体 \(U(0,1)\) 时，\(x_{(k)}\sim Be(k,\ n-k+1)\)
• 例 5.3.9（P275）：总体 \(U(0,1)\) 时，极差 \(x_{(n)}-x_{(1)}\sim Be(n-1,\ 2)\)

☆ 习题 5.3.28（把任意连续总体化为均匀分布）：设总体分布函数 \(F\) 连续，令 \(\eta_i=F(x_{(i)})\)，则

1. \(\eta_1\le\dots\le\eta_n\) 恰是来自 \(U(0,1)\) 的次序统计量（因为 \(F(X)\sim U(0,1)\) 且 \(F\) 单调）；
2. \(E(\eta_i)=\frac{i}{n+1}\)，\(\mathrm{Var}(\eta_i)=\frac{i(n+1-i)}{(n+1)^2(n+2)}\)（由 \(Be(i,n-i+1)\) 的期望和方差得到）；
3. \(\eta_i,\eta_j\)（\(i<j\)）的协方差矩阵为

样本 \(p\) 分位数的渐近分布（定理 5.3.7，P276）：设总体密度 \(p(x)\) 在 \(x_p\) 处连续且 \(p(x_p)>0\)，则

特别地，样本中位数 \(m_{0.5}\ \dot\sim\ N\left(x_{0.5},\ \frac{1}{4n\,p^2(x_{0.5})}\right)\)。

中位数具有稳健性（P277）：少数异常值对中位数几乎没有影响，对均值的影响却可能很大。

3. 三大抽样分布

• F 分布的分位数（P287）：\(F_\alpha(n,m)=\dfrac{1}{F_{1-\alpha}(m,n)}\)（因为 \(F\sim F(m,n)\) 时 \(\frac1F\sim F(n,m)\)）
• \(t(1)\) 就是标准柯西分布；\(n\to\infty\) 时 \(t(n)\to N(0,1)\)；若 \(T\sim t(n)\)，则 \(T^2\sim F(1,n)\)
• \(\chi^2(n)\)：期望 \(n\)，方差 \(2n\)；\(F(m,n)\)、\(t(n)\) 的期望和方差见第 2 篇

☆ 定理 5.4.1（P284，会证）：设 \(x_1,\dots,x_n\) 来自 \(N(\mu,\sigma^2)\)，则

1. \(\bar x\) 与 \(s^2\) 相互独立；
2. \(\bar x\sim N(\mu,\sigma^2/n)\)；
3. \(\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)。

推论（构造枢轴量的基础）

• \[\dfrac{\sqrt n(\bar x-\mu)}{s}\sim t(n-1)\]
• 两个独立正态样本：\(\dfrac{s_x^2/\sigma_1^2}{s_y^2/\sigma_2^2}\sim F(m-1,n-1)\)
• 若 \(\sigma_1=\sigma_2\)：\(\dfrac{(\bar x-\bar y)-(\mu_1-\mu_2)}{s_w\sqrt{\frac1m+\frac1n}}\sim t(m+n-2)\)，其中 \(s_w^2=\dfrac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2}\)

4. 充分统计量

定理 5.5.1 因子分解定理（P297）：\(T(\boldsymbol x)\) 是 \(\theta\) 的充分统计量，当且仅当存在函数 \(g(t;\theta)\) 和 \(h(\boldsymbol x)\)，使得

其中 \(h\) 不含 \(\theta\)，\(g\) 只通过 \(T\) 依赖于样本。

常见分布的充分统计量（指导书 P300）

• 充分统计量的一一对应变换仍是充分统计量（指导书 P300），例如 \(\sum x_i\) 与 \(\bar x\) 等价。
• 看规律：指数族分布的充分统计量就是密度指数上与参数相乘的那些样本函数之和；支撑依赖参数（如均匀分布）时，充分统计量是最值。

本系列目录

1. 01｜概念简答索引
2. 02｜常用分布
3. 03｜多维分布、协方差与条件期望
4. 04｜特征函数、大数定律与中心极限定理
5. 05｜抽样分布、次序统计量与充分统计量（本篇）
6. 06｜参数估计
7. 07｜区间估计、假设检验与习题结论

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本系列是我复习茆诗松、程依明、濮晓龙《概率论与数理统计教程》时整理的笔记，共 7 篇。文中 P××× 为茆书页码，“指导书”为配套的学习指导与习题解答。如有错漏，欢迎指出。