茆书复习笔记 01｜概念简答索引

30 Sep 2026 • 张梓源

关于本系列：这是我复习茆诗松、程依明、濮晓龙《概率论与数理统计教程》（下称“茆书”）时整理的笔记，共 7 篇。
P××× 为茆书页码，“指导书”为配套的学习指导与习题解答。

本篇用法：简答题常考“叙述××的定义”。下面每个概念给出可以直接写在答卷上的标准表述，再附一句直观理解。

1. 随机现象、样本空间与事件

随机现象（P1）
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。
直观理解：结果不止一个，事先不知道会出现哪一个。

样本空间（P2）
随机现象一切可能的基本结果组成的集合，记为 \(\Omega=\{\omega\}\)，其中元素 \(\omega\) 称为样本点。

随机事件（P2）
随机现象的某些样本点组成的集合，即 \(\Omega\) 的子集，常用 \(A,B,C\) 表示。

基本事件：只含一个样本点的事件
必然事件：\(\Omega\)
不可能事件：\(\varnothing\)

随机变量（P3，P62）
定义在样本空间 \(\Omega\) 上的实值函数 \(X=X(\omega)\)。
直观理解：把“结果”翻译成“数”，从而可以用微积分来研究。

事件域（P9）
设 \(\Omega\) 为样本空间，\(\mathscr F\) 为 \(\Omega\) 的某些子集组成的集合类。若 \(\mathscr F\) 满足：

\(\Omega\in\mathscr F\)；
若 \(A\in\mathscr F\)，则 \(\bar A\in\mathscr F\)（对逆运算封闭）；
若 \(A_n\in\mathscr F,\ n=1,2,\dots\)，则 \(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathscr F\)（对可列并封闭），

则称 \(\mathscr F\) 为一个事件域，又称 \(\sigma\) 代数。\((\Omega,\mathscr F)\) 称为可测空间。
直观理解：事件域就是“允许谈论概率的事件”的清单，这张清单对取补、可列并运算封闭。

结论：若样本空间有 \(n\) 个样本点，则共有 \(2^n\) 个事件（P9），即所有子集的个数。

2. 概率的定义与确定方法

概率的公理化定义（P13）
设 \(\Omega\) 为样本空间，\(\mathscr F\) 为事件域。若对任一事件 \(A\in\mathscr F\)，定义在 \(\mathscr F\) 上的实值函数 \(P(A)\) 满足：

非负性公理：\(P(A)\ge0\)；
正则性公理：\(P(\Omega)=1\)；
可列可加性公理：若 \(A_1,A_2,\dots\) 互不相容，则 \(P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，

则称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 的概率，\((\Omega,\mathscr F,P)\) 为概率空间。

确定概率的四种方法

方法	页码	核心思想	适用场景
频率方法	P15	大量重复试验中，事件发生的频率 \(f_n(A)=n_A/n\) 稳定于某常数，以此常数作为概率	可大量重复的试验
古典方法	P17	样本点有限且等可能：\(P(A)=\dfrac{A\text{ 所含样本点数}}{\Omega\text{ 中样本点总数}}=\dfrac kn\)	有限、等可能
几何方法	P25	样本空间是可度量的几何区域，且等可能：\(P(A)=\dfrac{S_A}{S_\Omega}\)（长度/面积/体积）	无限、等可能
主观方法	P29	根据经验和已有信息，对事件发生可能性给出的个人信念	无法重复的一次性事件

重复组合数的得出（P14）
从 \(n\) 个不同元素中有放回地取 \(r\) 个且不计顺序，不同的取法共有 \(\binom{n+r-1}{r}\) 种。

推导要点

把一次取法记成“\(r\) 个球放进 \(n\) 个盒子”：用 \(n-1\) 块隔板把 \(r\) 个球隔成 \(n\) 段，第 \(i\) 段的球数就是第 \(i\) 个元素被取到的次数。于是问题变成在 \(r+(n-1)\) 个位置中选出 \(r\) 个放球，共 \(\binom{n+r-1}{r}\) 种。

随机模拟法 / 蒙特卡罗法（P27，P231，P236）
用计算机产生随机数来模拟随机试验，以事件出现的频率估计概率，或以样本均值估计积分。理论依据是大数定律。

经典例子：蒲丰投针估计 \(\pi\)（P27）
求定积分 \(\int_0^1 f(x)\,dx\)：取 \(U_i\overset{iid}{\sim}U(0,1)\)，用 \(\frac1n\sum f(U_i)\) 估计（P231）

3. 独立性

两事件相互独立（P33）
若 \(P(AB)=P(A)P(B)\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相互独立。

多个事件相互独立及举例（P34）
设 \(A_1,\dots,A_n\) 为 \(n\) 个事件，若对任意 \(1\le i<j<k<\dots\le n\)，下面 \(2^n-n-1\) 个等式均成立：

\[\begin{aligned} P(A_iA_j)&=P(A_i)P(A_j),\\ P(A_iA_jA_k)&=P(A_i)P(A_j)P(A_k),\\ &\ \ \vdots\\ P(A_1A_2\cdots A_n)&=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n), \end{aligned}\]

则称 \(A_1,\dots,A_n\) 相互独立。

反例：两两独立 \(\not\Rightarrow\) 相互独立（伯恩斯坦四面体）
一个均匀正四面体，三面分别涂红、白、黑，第四面三色都涂。抛一次，记 \(A,B,C\) 分别为底面出现红、白、黑。
则 \(P(A)=P(B)=P(C)=\tfrac12\)，\(P(AB)=P(BC)=P(AC)=\tfrac14\)，所以两两独立；
但 \(P(ABC)=\tfrac14\ne\tfrac18=P(A)P(B)P(C)\)，所以不相互独立。

4. 分布函数与数字特征

分布函数的性质（P64）
\(F(x)=P(X\le x)\) 具有以下三条基本性质：

单调性：\(F(x)\) 单调不减；
有界性：\(0\le F(x)\le1\)，且 \(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)；
右连续性：\(F(x+0)=F(x)\)。

反之，满足这三条的函数一定是某个随机变量的分布函数，所以这三条是充要条件。

指数分布随机数的产生（P126）
若 \(U\sim U(0,1)\)，则 \(X=-\frac1\lambda\ln(1-U)\sim Exp(\lambda)\)。由于 \(1-U\) 也服从 \(U(0,1)\)，也可直接用 \(X=-\frac1\lambda\ln U\)。
依据是 \(F_X(X)\sim U(0,1)\)（见第 2 篇），即“逆变换法”。

k 阶矩（P129）

\(k\) 阶原点矩：\(\mu_k=E(X^k)\)
\(k\) 阶中心矩：\(\nu_k=E\big(X-E(X)\big)^k\)

变异系数（P131）
\(C_v(X)=\dfrac{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}}{E(X)}\)。它是无量纲的，可以比较量纲不同或均值差异很大的随机变量的波动大小。

分位数（P132 → P276）
对 \(0<p<1\)，若 \(x_p\) 满足 \(F(x_p)=\int_{-\infty}^{x_p}p(x)\,dx=p\)，则称 \(x_p\) 为该分布的 \(p\) 分位数（下侧分位数）。

中位数（P133）
\(p=0.5\) 时的分位数 \(x_{0.5}\)。与均值相比，中位数不受极端值影响，更稳健。

偏度系数（P134）
\(\beta_s=\dfrac{\nu_3}{\nu_2^{3/2}}\)，描述分布的对称性：\(\beta_s>0\) 为右偏（正偏，长尾在右），\(\beta_s<0\) 为左偏，\(\beta_s=0\) 时关于均值对称（的必要条件）。

峰度系数（P135）
\(\beta_k=\dfrac{\nu_4}{\nu_2^2}-3\)，以正态分布为基准（正态分布 \(\beta_k=0\)）。\(\beta_k>0\) 表示比正态分布更尖峭（尾部更厚），\(\beta_k<0\) 表示更平坦。

5. 多维随机变量

联合分布函数的定义（P140）
\(F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y)\)。

联合分布函数的性质（P140）

单调性：分别对 \(x\)、\(y\) 单调不减；
有界性：\(0\le F\le1\)，\(F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=0\)，\(F(+\infty,+\infty)=1\)；
右连续性：分别对 \(x\)、\(y\) 右连续；
非负性：对任意 \(a<b\)，\(c<d\)，有 \(F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge0\)。

反例（P141）：\(G(x,y)=\begin{cases}1,&x+y\ge0\\0,&x+y<0\end{cases}\) 满足前三条，但取矩形 \((-1,1]\times(-1,1]\) 时第四条算出 \(1-1-1+0=-1<0\)，所以它不是分布函数。二维分布函数必须单独验证非负性。

协方差（P178）
\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E\big[(X-E X)(Y-E Y)\big]=E(XY)-E(X)E(Y)\)。

相关系数（P182）
\(\mathrm{Corr}(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}\)，它刻画的是 \(X\) 与 \(Y\) 之间线性关系的强弱。

6. 极限理论

依概率收敛（P209）
若对任意 \(\varepsilon>0\)，有 \(\lim_{n\to\infty}P(\vert Y_n-Y\vert \ge\varepsilon)=0\)，则称 \(Y_n\) 依概率收敛于 \(Y\)，记作 \(Y_n\xrightarrow{P}Y\)。

依分布收敛（P211）
若在 \(F(x)\) 的每个连续点上都有 \(\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)\)，则称 \(F_n\) 弱收敛于 \(F\)，相应地称 \(X_n\) 依分布收敛于 \(X\)，记作 \(X_n\xrightarrow{L}X\)。

特征函数（P216）
\(\varphi(t)=E(e^{itX})\)，\(-\infty<t<\infty\)。它对任何随机变量都存在（因为 \(\vert e^{itX}\vert =1\)），并且与分布一一对应（详见第 4 篇）。

正态随机数的产生（P241）
由中心极限定理，取 12 个独立的 \(U(0,1)\) 随机数 \(U_1,\dots,U_{12}\)，则 \(\sum_{i=1}^{12}U_i-6\) 近似服从 \(N(0,1)\)（均值为 \(12\times\frac12=6\)，方差为 \(12\times\frac1{12}=1\)）。
（补充：精确方法有 Box–Muller 变换 \(Z=\sqrt{-2\ln U_1}\cos(2\pi U_2)\)。）

7. 统计基本概念

总体（P253）：研究对象的全体。

样本、样本容量、样品（P254）：从总体中抽出的部分个体称为样本；样本中个体的个数 \(n\) 称为样本容量；样本中的个体称为样品。简单随机样本要求独立同分布。

格里纹科定理（P258）
设 \(x_1,\dots,x_n\) 是取自总体分布函数为 \(F(x)\) 的样本，\(F_n(x)\) 为经验分布函数，则

\[P\left(\lim_{n\to\infty}\sup_{-\infty<x<\infty}\vert F_n(x)-F(x)\vert =0\right)=1.\]

直观理解：样本量足够大时，经验分布函数会一致地贴近真实分布，这是“用样本推断总体”的理论基础。

统计量（P263）
不含任何未知参数的样本函数称为统计量。

次序统计量（P271）
把样本从小到大排序得到 \(x_{(1)}\le x_{(2)}\le\dots\le x_{(n)}\)，其中 \(x_{(k)}\) 称为第 \(k\) 个次序统计量。

五数概括（P277）
\(x_{(1)},\ Q_1,\ m_{0.5},\ Q_3,\ x_{(n)}\)，即最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值。箱线图就是根据五数概括画出来的。

充分统计量（P286）
设 \(x_1,\dots,x_n\) 是来自分布族 \(\{F_\theta\}\) 的样本。若在给定 \(T=t\) 的条件下，样本的条件分布与 \(\theta\) 无关，则称 \(T\) 为 \(\theta\) 的充分统计量。
直观理解：\(T\) 已经把样本中关于 \(\theta\) 的信息全部“打包”带走了，剩下的部分与 \(\theta\) 无关。

8. 参数估计

估计（P302）：用样本构造统计量 \(\hat\theta=\hat\theta(x_1,\dots,x_n)\) 来估计未知参数 \(\theta\)，称为点估计。

无偏估计（P303）：若对任意 \(\theta\in\Theta\) 都有 \(E_\theta(\hat\theta)=\theta\)，则称 \(\hat\theta\) 是 \(\theta\) 的无偏估计。

渐近无偏估计（P303）：\(\lim_{n\to\infty}E(\hat\theta_n)=\theta\)。例：\(s_n^2=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2\) 是 \(\sigma^2\) 的渐近无偏估计。

可估与不可估（P305）：若参数存在无偏估计，则称其可估，否则称不可估。例：对 \(b(1,p)\)，\(\frac1p\) 不可估。

有效性（P306）：设 \(\hat\theta_1,\hat\theta_2\) 都是 \(\theta\) 的无偏估计，若对一切 \(\theta\) 有 \(\mathrm{Var}(\hat\theta_1)\le\mathrm{Var}(\hat\theta_2)\)，且至少有一个 \(\theta\) 使不等号严格成立，则称 \(\hat\theta_1\) 比 \(\hat\theta_2\) 有效。

相合性（P309）：若对任意 \(\theta\) 有 \(\hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta\)，则称 \(\hat\theta_n\) 是 \(\theta\) 的相合估计。相合性是对估计量最基本的要求。

似然函数与最大似然估计（P314）
似然函数 \(L(\theta)=L(\theta;x_1,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n p(x_i;\theta)\)。若统计量 \(\hat\theta\) 满足 \(L(\hat\theta)=\max_{\theta\in\Theta}L(\theta)\)，则称 \(\hat\theta\) 为 \(\theta\) 的最大似然估计（MLE）。
直观理解：在所有可能的参数中，挑出“最能解释已观测到的数据”的那一个。

均方误差（P323）
\(\mathrm{MSE}(\hat\theta)=E(\hat\theta-\theta)^2=\mathrm{Var}(\hat\theta)+\big(E\hat\theta-\theta\big)^2\)，即方差加偏差的平方。

一致最小方差无偏估计 UMVUE（P324）
设 \(\hat\theta\) 是 \(\theta\) 的无偏估计。若对 \(\theta\) 的任一无偏估计 \(\tilde\theta\)，在任意 \(\theta\in\Theta\) 下都有 \(\mathrm{Var}(\hat\theta)\le\mathrm{Var}(\tilde\theta)\)，则称 \(\hat\theta\) 为 \(\theta\) 的 UMVUE。

9. 假设检验

假设检验的基本步骤（P357）

建立原假设 \(H_0\) 与备择假设 \(H_1\)；
选择检验统计量，给出拒绝域的形式；
选择显著性水平 \(\alpha\)；
由 \(P(\text{拒绝}H_0\mid H_0\text{为真})\le\alpha\) 确定临界值，得到拒绝域 \(W\)；
根据样本观测值作出判断（也可以用 p 值判断）。

势函数（P360）
检验的拒绝域为 \(W\)，则样本观测值落入拒绝域的概率

\[g(\theta)=P_\theta(X\in W),\quad \theta\in\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1\]

称为该检验的势函数。当 \(\theta\in\Theta_0\) 时，\(g(\theta)=\alpha(\theta)\) 是犯第一类错误的概率；当 \(\theta\in\Theta_1\) 时，\(g(\theta)=1-\beta(\theta)\)，其中 \(\beta(\theta)\) 是犯第二类错误的概率。

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