随机过程笔记 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时

21 Oct 2026 • 张梓源

导读

最后一篇把视角拉远。股价、利率、波动率都被建模成随机微分方程的解。我们显式解出 Ornstein–Uhlenbeck 方程，认识 CIR 过程，并说明为什么所有 SDE 的解都是马尔可夫的。然后 Feynman–Kac 把整门课首尾接上：收益的条件期望和一个偏微分方程是同一个东西——Black–Scholes 只是其中一例。最后讲派息股票、停时和可选抽样定理。

1. 随机微分方程

固定 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb F,\mathbb P)\)、布朗运动 \(W\)，\(\mathbb F=\mathbb F^W\)。SDE 是如下形式的方程：

\[dX_t=\mu(t,X_t)\,dt+\sigma(t,X_t)\,dW_t,\qquad X_0=x,\]

\(\mu:[0,\infty)\times\mathbb R\to\mathbb R\) 是漂移函数，\(\sigma:[0,\infty)\times\mathbb R\to\mathbb R\) 是扩散（离散）函数。和 Itô 过程不同，这里的系数依赖未知的 \(X\) 本身。

解是满足下式的过程 \(X\)：对所有 \(t\ge0\)

\[\mathbb P\Big[X_t=x+\int_0^t\mu(u,X_u)\,du+\int_0^t\sigma(u,X_u)\,dW_u\Big]=1,\]

且所有积分都有定义。

GBM 就是一个 SDE。 取 \(\mu(t,x)=\mu x\)，\(\sigma(t,x)=\sigma x\)：\(dX_t=\mu X_tdt+\sigma X_tdW_t\)，解为 \(X_t=x\,e^{(\mu-\frac12\sigma^2)t+\sigma W_t}\)——正是 Black–Scholes 里的股票。

存在唯一性。 不是每个 SDE 都有解，有显式解的更少。在温和的条件下可以证明解存在且唯一；关键是 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 在空间变量上满足 Lipschitz 条件：

\[\vert f(x)-f(y)\vert\le K\vert x-y\vert,\]

和常微分方程一样。这门课里我们总是假设解存在。

2. Ornstein–Uhlenbeck 过程

\[dX_t=\kappa(\theta-X_t)\,dt+\sigma\,dW_t,\qquad \kappa>0 .\]

\(\theta\)：长期均值；\(\kappa\)：均值回复速度；\(\sigma\)：波动率。\(X\) 高于 \(\theta\) 时漂移把它往下拉，反之往上拉——像一根带噪声的弹簧。

求解。 （1）假设解存在，求出形式；（2）验证。乘以积分因子 \(e^{\kappa t}\) 再用 Itô（和确定性因子的乘积法则）：

\[d(e^{\kappa t}X_t)=e^{\kappa t}\big(\kappa X_t\,dt+\kappa(\theta-X_t)\,dt+\sigma\,dW_t\big)=e^{\kappa t}\big(\kappa\theta\,dt+\sigma\,dW_t\big).\]

积分：\(e^{\kappa t}X_t=x+\theta(e^{\kappa t}-1)+\int_0^te^{\kappa u}\sigma\,dW_u\)，所以

\[X_t=\theta+e^{-\kappa t}\Big((x-\theta)+\int_0^te^{\kappa u}\sigma\,dW_u\Big).\]

验证：求微分，\(dX_t=-\kappa e^{-\kappa t}\big((x-\theta)+\int_0^te^{\kappa u}\sigma dW_u\big)dt+\sigma\,dW_t=\kappa(\theta-X_t)dt+\sigma dW_t\)。✓

分布。 被积函数 \(e^{\kappa u}\sigma\) 是确定性的，由第 04 篇，随机积分服从正态，方差由 Itô 等距给出：

\[e^{-\kappa t}\int_0^te^{\kappa u}\sigma\,dW_u\sim N\big(0,\sigma_t^2\big),\qquad \sigma_t^2=\sigma^2e^{-2\kappa t}\int_0^te^{2\kappa u}\,du=\frac{\sigma^2}{2\kappa}\big(1-e^{-2\kappa t}\big).\]

因此

\[X_t\sim N\Big(\theta+e^{-\kappa t}(x-\theta),\ \frac{\sigma^2}{2\kappa}\big(1-e^{-2\kappa t}\big)\Big)\ \xrightarrow{t\to\infty}\ N\Big(\theta,\ \frac{\sigma^2}{2\kappa}\Big).\]

起点以指数速度被遗忘；\(\theta\) 是长期均值，\(\sigma^2/(2\kappa)\) 是长期方差。

时变系数。 若 \(\kappa(t),\theta(t),\sigma(t)\) 非随机（可以随 \(t\) 变，但不随 \(\omega\) 变），\(dX_t=\kappa(t)\big(\theta(t)-X_t\big)dt+\sigma(t)dW_t\) 的解为

\[X_t=e^{-\int_0^t\kappa(u)du}\Big(x+\int_0^te^{\int_0^u\kappa(v)dv}\kappa(u)\theta(u)\,du+\int_0^te^{\int_0^u\kappa(v)dv}\sigma(u)\,dW_u\Big).\]

3. Cox–Ingersoll–Ross 过程

\[dX_t=\kappa(\theta-X_t)\,dt+\xi\sqrt{X_t}\,dW_t,\qquad X_0=x>0 .\]

均值回复和 OU 一样，但瞬时条件方差是 \(\xi^2X_t\,dt\)：\(X\) 越接近 0，噪声越小。解必须保持为正，\(\sqrt{X_t}\) 才有意义；当 \(\kappa\theta\ge\frac12\xi^2\) 时解严格为正（Feller 条件）。没有显式解，但解存在，\(X_t\) 的分布可以求出来。它是常用的利率模型和方差模型。

4. 马尔可夫性

\(dX_t=\mu(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t\) 的解是马尔可夫过程：在时刻 \(t\) 想评估过程的未来，知道 \(X_t\) 就够了——\(\mathcal F_t\) 里 \(X_t\) 以外的信息都无关。实际用起来就是：

\[E[g(X_u)\mid\mathcal F_t]=E[g(X_u)\mid X_t],\qquad E\Big[e^{-\int_t^Tg(X_u)du}\,\Big\vert\,\mathcal F_t\Big]=E\Big[e^{-\int_t^Tg(X_u)du}\,\Big\vert\,X_t\Big].\]

为什么：在时刻 \(t\)，下一步 \(dX_t\) 由 \(X_t\)（通过 \(\mu\) 和 \(\sigma\)）和 \(dW_t\) 决定，而 \(dW_t\) 与 \(\mathcal F_t\) 独立。分别展开 \(E[g(X_t+dX_t)\mid\mathcal F_t]\) 和 \(E[g(X_t+dX_t)\mid X_t]\)，一步一步都相同。

5. Feynman–Kac

设 \(dX_t=\mu(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t\)，\(g\) 为收益函数，\(r(t,x)\) 为贴现率。那么

\[f(t,x):=E\Big[e^{-\int_t^Tr(u,X_u)du}\,g(X_T)\,\Big\vert\,X_t=x\Big],\qquad t\le T,\ x\in\mathbb R,\]

与下面的偏微分方程一一对应：

\[\begin{cases}0=\Big(f_t+\mu f_x+\tfrac12\sigma^2f_{xx}-rf\Big)(t,x),&t<T,\ x\in\mathbb R,\\[4pt] f(T,x)=g(x).\end{cases}\]

不贴现时，\(u(t,x)=E[g(X_T)\mid X_t=x]\) 满足 \(0=u_t+\mu u_x+\frac12\sigma^2u_{xx}\)，\(u(T,x)=g(x)\)。

为什么成立（一句话）。 由马尔可夫性，\(e^{-\int_0^tr\,du}f(t,X_t)=E\big[e^{-\int_0^Tr\,du}g(X_T)\mid\mathcal F_t\big]\) 是鞅。对它用 Itô：\(dt\) 系数是 \(e^{-\int_0^tr}\big(f_t+\mu f_x+\frac12\sigma^2f_{xx}-rf\big)\)，而鞅没有 \(dt\) 项。

Black–Scholes 是特例。 取 \(\mathbb Q\) 下的 \(X=S\)，即 \(\mu(t,s)=rs\)，\(\sigma(t,s)=\sigma s\)，\(r\) 为常数，\(g(s)=(s-K)^+\)。偏微分方程就是第 05 篇的 Black–Scholes 方程，期望就是第 06 篇的风险中性公式。整门课的两半——偏微分方程和期望——是同一件事。

6. 派息股票

若股票以速率 \(a_t\) 连续派息，股价会因派息而下降：

\[\frac{dS_t}{S_t}=\mu_t\,dt+\sigma_t\,dW_t-a_t\,dt .\]

财富。 在 \([t,t+dt]\) 上持有 \(\Delta_t\) 股，还会收到股息 \(\Delta_tS_ta_t\,dt\)：

\[X_{t+dt}=\Delta_tS_{t+dt}+\Delta_tS_ta_t\,dt+(X_t-\Delta_tS_t)\frac{B_{t+dt}}{B_t},\] \[\begin{aligned} dX_t&=\Delta_t\,dS_t+\Delta_tS_ta_t\,dt+(X_t-\Delta_tS_t)r_t\,dt\\ &=\Delta_tS_t\big((\mu_t-a_t)dt+\sigma_tdW_t\big)+\Delta_tS_ta_t\,dt+(X_t-\Delta_tS_t)r_t\,dt\\ &=r_tX_t\,dt+\Delta_t\sigma_tS_t\big(dW_t+\theta_t\,dt\big),\qquad\theta_t=\frac{\mu_t-r_t}{\sigma_t}. \end{aligned}\]

财富动态和不派息时一样（收到的股息正好抵消股价的下跌），但股价动态变了。所以欧式期权的价格会变，因为股价不同了。在 \(\mathbb Q\) 下，

\[dX_t=r_tX_t\,dt+\Delta_tS_t\sigma_t\,dW^{\mathbb Q}_t,\qquad V_t=E^{\mathbb Q}\Big[e^{-\int_t^Tr_udu}V_T\,\Big\vert\,\mathcal F_t\Big],\]

而 \(\mathbb Q\) 下股票的漂移变成 \(r_t-a_t\)。实际计算时，把收益写成 \(S_T=S_t\cdot\frac{S_T}{S_t}\) 的函数，固定 \(S_t=s\) 再算——和 Black–Scholes 的推导完全一样。

7. 停时

随机时间 \(\tau\) 是停时，如果

\[\{\omega:\tau(\omega)\le t\}\in\mathcal F_t\quad\text{对所有 }t,\]

即在每个时刻，根据当前信息就能判断是否已经停下。例：非随机时间 \(\tau\equiv t_0\)，\(t_0\le t\) 时 \(\{\tau\le t\}=\Omega\)，否则为 \(\varnothing\)。

首中时（hitting time）。 \(\tau(\omega)=\inf\{t:X_t(\omega)=\lambda\}\)，\(X\) 第一次碰到水平 \(\lambda\) 的时间。对路径连续的适应过程 \(X\)，首中时是停时。（反过来，”\(T\) 之前最后一次碰到 \(\lambda\) 的时间”不是停时：要知道它必须看未来。）

停时处的值与停止过程。 \(X_\tau\) 是随机变量 \(\omega\mapsto X_{\tau(\omega)}(\omega)\)——比如 \(\tau(\omega)=1\) 时是 \(X_1(\omega)\)，\(\tau(\omega)=3\) 时是 \(X_3(\omega)\)。停止过程 \(X^\tau\) 为

\[X^\tau_t(\omega):=X_{t\wedge\tau(\omega)}(\omega):\]

到 \(\tau\) 之前跟着 \(X\) 走，之后保持不动。

8. 可选抽样定理

定理（OST）。 设 \(M\) 是鞅，\(\alpha\le\tau\) 是两个有界停时。则

\[E[M_\tau\mid\mathcal F_\alpha]=M_\alpha .\]

对有界停时 \(\tau\) 的推论：

停止过程 \(t\mapsto M_{t\wedge\tau}\) 是鞅；
\(E[M_\tau]=M_0\)；
若 \(\tau\le T\)，权益在随机时刻 \(\tau\) 的价格为 \(V_\tau=E^{\mathbb Q}\big[e^{-r(T-\tau)}V_T\mid\mathcal F_\tau\big]\)——就是第 06 篇的定价公式把 \(t\) 换成 \(\tau\)。

直观：只要决定”什么时候看”的规则不偷看未来，公平的赌局就仍然公平。有界性很重要：”赢了就走”也是停时，但它是无界的，用它就可能 \(E[M_\tau]>M_0\)。

本系列目录

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。