随机过程笔记 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动

21 Oct 2026 • 张梓源

导读

Itô 公式是随机分析里的链式法则。和普通链式法则相比它多了一项 \(\frac12f''\,d[W,W]_t=\frac12f''\,dt\)，原因正是第 02 篇的 \([W,W]_t=t>0\)。

实际用时只需要二阶泰勒展开加上乘法表 \(dt^2=0,\quad dt\,dW_t=0,\quad (dW_t)^2=dt.\) 这一篇推导公式，推广到 Itô 过程，并用它搭出标准的股价模型——几何布朗运动。

1. 普通链式法则为什么不成立

对光滑路径 \(g\)，\(f(g_t)-f(g_0)=\int_0^tf'(g_u)\,g'_u\,du\)。照搬过来会得到 \(f(W_t)=f(W_0)+\int_0^tf'(W_u)\,dW_u\)。拿 \(f(x)=\frac12x^2\) 检验，它预测 \(\frac12W_t^2=\int_0^tW_u\,dW_u\)。用 \([0,t]\) 的划分直接算：

\[\frac12W_t^2=\frac12\sum_j\big(W_{t_j}^2-W_{t_{j-1}}^2\big)=\sum_jW_{t_{j-1}}(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})+\frac12\sum_j(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})^2\ \xrightarrow{\Vert \Pi\Vert \to0}\ \int_0^tW_u\,dW_u+\frac12t.\]

（验算：\(W_{t_{j-1}}W_{t_j}-W_{t_{j-1}}^2+\frac12(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})^2=\frac12W_{t_j}^2-\frac12W_{t_{j-1}}^2\)。）

多出来的 \(\frac12t\) 就是二次变差。所以链式法则需要二阶修正。

2. Itô 公式

\(W\) 是布朗运动，\(f\) 光滑：

\[f(W_t)-f(W_0)=\int_0^tf'(W_u)\,dW_u+\frac12\int_0^tf''(W_u)\,d[W,W]_u .\]

简写：\(df(W_t)=f'(W_t)\,dW_t+\frac12f''(W_t)\,dt\)。注意 “\(df(W_t)\)” 本身没有意义——它只是积分方程的简写。

启发式推导。 二阶泰勒 \(f(x+y)-f(x)=f'(x)y+\frac12f''(x)y^2\)，令 \(x=W_t\)，\(y=dW_t\)，并用 \((dW_t)^2=d[W,W]_t\)：

\[df(W_t)=f'(W_t)\,dW_t+\frac12f''(W_t)\,(dW_t)^2=f'(W_t)\,dW_t+\frac12f''(W_t)\,d[W,W]_t .\]

这不严格——两项泰勒展开并不精确，把 \(dW_t\) 代进去也只是形式上的——但答案是对的，大家也都是这么用的。

证明梗概（显式写出泰勒余项）

设 \(f,f',f''\) 连续有界。写出带余项的精确泰勒展开

\[f(x+y)=f(x)+f'(x)y+\tfrac12f''(x)y^2+R(x,y)\,y^2,\qquad R(x,y)=\frac{f(x+y)-f(x)-f'(x)y-\frac12f''(x)y^2}{y^2}.\]

\(R\) 是”每单位 \(y^2\) 的误差”。用两次洛必达，\(\lim_{y\to0}R(x,y)=\lim_{y\to0}\frac12\big(f''(x+y)-f''(x)\big)=0\)，即余项比 \(y^2\) 更高阶。

在划分上逐段相加，\(x=W_{t_{j-1}}\)，\(x+y=W_{t_j}\)：

\[f(W_t)-f(W_0)=\underbrace{\sum_jf'(W_{t_{j-1}})\Delta W_j}_{(1)}+\underbrace{\tfrac12\sum_jf''(W_{t_{j-1}})(\Delta W_j)^2}_{(2)}+\underbrace{\sum_jR(W_{t_{j-1}},\Delta W_j)(\Delta W_j)^2}_{(3)}.\]

(1) \(\to\int_0^tf'(W_u)\,dW_u\)（随机积分，第 03 篇）。
(2) 把 \((\Delta W_j)^2\) 拆成 \(\Delta t_j+\big((\Delta W_j)^2-\Delta t_j\big)\)。第一部分给出 \(\int_0^tf''(W_u)\,du\)。第二部分 \(\mathcal Z=\sum_jf''(W_{t_{j-1}})\big((\Delta W_j)^2-\Delta t_j\big)\) 均值为 0（因为 \(W_t^2-t\) 是鞅），方差 \(\le K(f,t)\,\Vert \Pi\Vert \to0\)，所以 \(\mathcal Z\to0\)。
(3) \(\vert(3)\vert\le\max_j\vert R(W_{t_{j-1}},\Delta W_j)\vert\cdot[W,W]^\Pi_t\to0\cdot t=0\)。

两个例子。

\(f(x)=e^x\)：\(e^{W_t}=1+\int_0^te^{W_u}\,dW_u+\frac12\int_0^te^{W_u}\,du\)。
\(f(x)=\sin x\)：\(\sin W_t=\int_0^t\cos W_u\,dW_u-\frac12\int_0^t\sin W_u\,du\)。\(du\) 项会变号，所以 \(\sin W_t\) 既不是下鞅、上鞅，也不是鞅。

经验法则： \(dW\) 部分是鞅，\(dt\) 部分是漂移。\(W\) 的函数是鞅，当且仅当它的 \(dt\) 项为零。

3. 含时间的 Itô 公式

若 \(f(t,x)\) 的 \(f_t,f_x,f_{xx}\) 连续：

\[df(t,W_t)=f_t(t,W_t)\,dt+f_x(t,W_t)\,dW_t+\frac12f_{xx}(t,W_t)\,d[W,W]_t .\]

启发式推导。 二元泰勒

\[f(t+s,x+y)-f(t,x)=f_ts+f_xy+\tfrac12f_{tt}s^2+f_{tx}sy+\tfrac12f_{xx}y^2,\]

令 \(s=dt\)，\(y=dW_t\)，再用乘法表 \(dt^2=0\)，\(dt\,dW_t=0\)，\((dW_t)^2=dt\)。为什么两个交叉项消失？\(\Vert \Pi\Vert \to0\) 时

\[\sum_i(t_i-t_{i-1})^2\le\max_i(t_i-t_{i-1})\cdot t\to0,\qquad \sum_i(t_i-t_{i-1})\vert W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\vert\le\max_i\vert W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\vert\cdot t\to0.\]

指数鞅（重要）

\(f(t,x)=e^{\alpha x-\frac12\alpha^2t}\) 有 \(f_t=-\frac12\alpha^2f\)，\(f_x=\alpha f\)，\(f_{xx}=\alpha^2f\)，\(dt\) 项正好抵消：

\[df(t,W_t)=\alpha f(t,W_t)\,dW_t\quad\Longrightarrow\quad e^{\alpha W_t-\frac12\alpha^2t}=1+\int_0^t\alpha\,e^{\alpha W_u-\frac12\alpha^2u}\,dW_u\]

是鞅。\(-\frac12\alpha^2t\) 正是抵消 \(e^{\alpha W_t}\) 本来会有的漂移所需的 “Itô 修正”。

4. Itô 过程

Itô 过程同时含普通积分和随机积分：

\[X_t=X_0+\underbrace{\int_0^t\Theta_u\,du}_{A_t:\ \text{有限变差部分}}+\underbrace{\int_0^t\Delta_u\,dW_u}_{M_t:\ \text{鞅部分}},\qquad dX_t=\Theta_t\,dt+\Delta_t\,dW_t,\]

\(\Theta,\Delta\) 适应且使积分存在，\(X_0\) 为常数。除非 \(\Theta\equiv0\)，\(A\) 不是鞅。

例：\(\Theta\equiv0,\ \Delta\equiv1,\ X_0=x\) 给出 \(X_t=x+W_t\)，从 \(x\) 出发的布朗运动；\(\Delta\equiv0\) 给出光滑过程 \(X_t=X_0+\int_0^t\Theta_u\,du\)。

二次变差。 只有 \(dW\) 部分有贡献：

\[d[X,X]_t=(dX_t)^2=\Theta_t^2\,dt^2+2\Theta_t\Delta_t\,dt\,dW_t+\Delta_t^2\,(dW_t)^2=\Delta_t^2\,dt,\qquad [X,X]_t=\int_0^t\Delta_u^2\,du.\]

对 Itô 过程积分。 对适应的 \(\Gamma\)，

\[\int_0^t\Gamma_u\,dX_u:=\int_0^t\Gamma_u\Theta_u\,du+\int_0^t\Gamma_u\Delta_u\,dW_u,\]

要求 \(\int_0^t\vert\Gamma_u\Theta_u\vert du<\infty\) 且 \(E\int_0^t\Gamma_u^2\Delta_u^2du<\infty\)。若 \(X\) 是股价，这就是持有 \(\Gamma\) 股的交易盈亏。结果 \(Y_t=\int_0^t\Gamma_u\,dX_u\) 仍是 Itô 过程（只有 \(\Theta\equiv0\) 时才是鞅），\([Y,Y]_t=\int_0^t\Gamma_u^2\Delta_u^2\,du\)。

5. Itô 过程的 Itô 公式

对好的 \(f(t,x)\)（光滑、导数有界）：

\[df(t,X_t)=f_t(t,X_t)\,dt+f_x(t,X_t)\,dX_t+\frac12f_{xx}(t,X_t)\,d[X,X]_t .\]

代入 \(dX_t=\Theta_tdt+\Delta_tdW_t\) 和 \(d[X,X]_t=\Delta_t^2dt\)：

\[df(t,X_t)=\underbrace{\Big(f_t+f_x\Theta_t+\tfrac12f_{xx}\Delta_t^2\Big)dt}_{\text{有限变差}}+\underbrace{f_x\,\Delta_t\,dW_t}_{\text{鞅}} .\]

所以 Itô 过程的函数仍是 Itô 过程——但一般不保持鞅性（比如 \(W\) 是鞅，\(W^2\) 是下鞅）。

记法：假装二阶泰勒展开是精确的，再套乘法表，用 \(dt\,dX_t=dt(\Theta_tdt+\Delta_tdW_t)=0\) 和 \((dX_t)^2=\Delta_t^2dt\)。

贴现（第 05–06 篇天天用）。若 \(dY_t=\Theta_tdt+\Delta_tdW_t\)，对 \(f(t,y)=e^{-rt}y\)（\(f_t=-rf\)，\(f_y=e^{-rt}\)，\(f_{yy}=0\)）用公式：

\[d(e^{-rt}Y_t)=e^{-rt}(\Theta_t-rY_t)\,dt+e^{-rt}\Delta_t\,dW_t .\]

6. 几何布朗运动

设 \(\mu=\{\mu_t\}\)，\(\sigma=\{\sigma_t\}\) 适应，\(\int_0^t\vert\mu_s\vert ds<\infty\)，\(E\int_0^t\sigma_s^2ds<\infty\)。（广义）几何布朗运动，记作 \(S\sim GBM(\mu,\sigma)\)：

\[S_t=S_0\exp\Big\{\int_0^t\Big(\mu_u-\tfrac12\sigma_u^2\Big)du+\int_0^t\sigma_u\,dW_u\Big\},\qquad S_0>0.\]

这是最常用的股价模型。\(\mu,\sigma\) 为常数时

\[S_t=S_0\exp\Big\{\big(\mu-\tfrac12\sigma^2\big)t+\sigma W_t\Big\}=S_0e^{\mu t}\cdot\underbrace{e^{\sigma W_t-\frac12\sigma^2t}}_{\text{指数鞅}} .\]

动态。 令 \(X_t=\int_0^t(\mu_u-\frac12\sigma_u^2)du+\int_0^t\sigma_udW_u\)，则 \(S_t=f(X_t)\)，\(f(x)=S_0e^x\)（\(f=f'=f''\)）：

\[dS_t=S_t\Big(\big(\mu_t-\tfrac12\sigma_t^2\big)dt+\sigma_tdW_t\Big)+\tfrac12S_t\sigma_t^2dt\quad\Longrightarrow\quad\frac{dS_t}{S_t}=\mu_t\,dt+\sigma_t\,dW_t .\]

\(dS_t/S_t\) 是 \([t,t+dt]\) 上的瞬时收益率。\(\mu_t,\sigma_t\) 是 \(\mathcal F_t\) 可测的，\(dW_t\perp\!\!\!\perp\mathcal F_t\)，所以

\[E\Big[\frac{dS_t}{S_t}\,\Big\vert\,\mathcal F_t\Big]=\mu_t\,dt,\qquad \mathrm{Var}\Big[\frac{dS_t}{S_t}\,\Big\vert\,\mathcal F_t\Big]=\sigma_t^2\,dt,\]

\(\mu\) 和 \(\sigma\) 就是收益率的漂移和波动率。指数里的 \(-\frac12\sigma^2\) 又是 Itô 修正：对数价格的增长比期望收益率慢。

7. 应用：确定性函数的随机积分服从正态

结论。 若 \(f\) 是确定性（非随机）的，则

\[\int_0^tf_u\,dW_u\sim N\Big(0,\ \int_0^tf_u^2\,du\Big).\]

用指数鞅证明

取 \(S\sim GBM(0,\alpha f)\)，\(S_0=1\)，\(\alpha\in\mathbb R\)。漂移为 0，\(S\) 是鞅，所以

\[1=E[S_t]=E\Big[e^{\alpha\int_0^tf_udW_u-\frac12\alpha^2\int_0^tf_u^2du}\Big]=e^{-\frac12\alpha^2\int_0^tf_u^2du}\,E\Big[e^{\alpha\int_0^tf_udW_u}\Big],\]

非随机的因子可以提出来。于是 \(E\big[e^{\alpha\int_0^tf_udW_u}\big]=e^{\frac12\alpha^2\int_0^tf_u^2du}\)，正是 \(N\big(0,\int_0^tf_u^2du\big)\) 的矩母函数（\(X\sim N(0,\sigma^2)\) 时 \(Ee^{\alpha X}=e^{\frac12\alpha^2\sigma^2}\)），矩母函数唯一确定分布。

方差 \(\int_0^tf_u^2du\) 正是 Itô 等距给出的；新的信息是分布是正态的。第 07 篇的 OU 过程会用到这个结论。

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。