随机过程笔记 03｜随机积分

21 Oct 2026 • 张梓源

导读

随机积分其实就是累计的交易盈亏（P/L）：持有 \(\Delta\) 股，价格变动 \(dW\)，加起来。这一篇分三步构造 \(\int_0^t\Delta_s\,dW_s\)——离散时间、”买入持有”的简单策略、用逼近得到的一般策略，并说明同样的五条性质每一步都保留下来：

线性 · 适应 · 鞅 · Itô 等距 \(\mathrm{Var}[I_t]=E\int_0^t\Delta_s^2ds\) · \([I,I]_t=\int_0^t\Delta_s^2ds\)。

1. 离散时间：积分就是交易盈亏

设 \(M=\{M_n\}\) 是鞅（想成股价）。对交易策略 \(\Delta=\{\Delta_n\}\) 定义

\[I_0=0,\qquad I_n=\sum_{j=1}^n\underbrace{\Delta_j}_{\text{持股数}}\ \underbrace{dM_j}_{\text{价格变动}},\qquad dM_j=M_j-M_{j-1}.\]

\(\Delta_j\,dM_j\) 是 \([j-1,j]\) 上的盈亏，\(I_n\) 是 \([0,n]\) 上的累计盈亏。

可料（predictable）策略。 我们在 \([j-1,j]\) 上持有 \(\Delta_j\) 股，而投资时不能看到未来，所以 \(\Delta_j\) 必须在 \(j-1\) 时刻就已知：\(\Delta_j\) 是 \(\mathcal F_{j-1}\) 可测的。这样的 \(\Delta=\{\Delta_n\}_{n\ge1}\) 叫可料的（\(\Delta_0\) 没有定义，因为 \(\mathcal F_{-1}\) 不存在）。

\(I=\sum\Delta\,dM\) 的性质（\(\Delta\) 可料，\(M\) 是鞅）

对 \(\Delta\) 线性： \(I(\alpha\Delta+\beta\psi)=\alpha I(\Delta)+\beta I(\psi)\)——拆开求和即可。
适应： \(\Delta_1,\dots,\Delta_n\) 在 \(n-1\) 时刻已知，\(M_0,\dots,M_n\) 在 \(n\) 时刻已知，所以 \(I_n\) 是 \(\mathcal F_n\) 可测的。
鞅： \(I_{n+1}-I_n=\Delta_{n+1}(M_{n+1}-M_n)\)，\(\Delta_{n+1}\) 是 \(\mathcal F_n\) 可测的，所以
\[E[I_{n+1}-I_n\mid\mathcal F_n]=\Delta_{n+1}\,E[M_{n+1}-M_n\mid\mathcal F_n]=0.\]
二次变差： \([I,I]_n=\sum_j\Delta_j^2(dM_j)^2=\sum_j\Delta_j^2\,d[M,M]_j\)。
方差： \(I\) 是鞅且 \(I_0=0\)，由第 02 篇结论 1，
\[\mathrm{Var}[I_n]=E\big[[I,I]_n\big]=E\Big[\sum_{j=1}^n\Delta_j^2\,d[M,M]_j\Big].\]

对随机游走，\(d[M,M]_j=1\)，所以 \([I,I]_n=\sum_j\Delta_j^2\)，\(\mathrm{Var}[I_n]=E\sum_j\Delta_j^2\)。

“鞅”这条的直观：只要下注前不知道硬币结果，怎么调整下注大小都赢不了公平的赌局。

2. 连续时间：为什么直接定义行不通

我们想要 \(I_t=\int_0^t\Delta_s\,dW_s\)（\(\Delta\)：被积函数，\(W\)：积分器；盈亏的解释不变）。自然的想法是黎曼和：

\[\int_0^t\Delta_s\,dW_s\approx\sum_{j=1}^n\Delta_{t_{j-1}}\big(W_{t_j}-W_{t_{j-1}}\big).\]

如果 \(W\) 光滑，中值定理会把它变成 \(\int_0^t\Delta_s\dot W_s\,ds\)。但 \(W\) 处处不可微（第 02 篇），\(\dot W_s\) 不存在，所以逐条路径取极限在通常意义下不存在。我们需要一种新的极限。

3. 简单（买入持有）被积函数

先回到”差不多是离散”的情形。固定 \(0=t_0<t_1<\dots<t_n\) 和 \(\mathcal F_{t_j}\) 可测的 \(\Delta_j\)，令

\[\Delta_t=\Delta_0\mathbf 1_{\{t=0\}}+\sum_{j=1}^n\Delta_{j-1}\mathbf 1_{\{t\in(t_{j-1},t_j]\}}:\]

在 \((t_{j-1},t_j]\) 上持有 \(\Delta_{j-1}\) 股。对这种简单被积函数，积分可以直接写出来：

\[I_t=\sum_{j=1}^n\underbrace{\Delta_{j-1}}_{\text{头寸}}\ \underbrace{\big(W_{t\wedge t_j}-W_{t\wedge t_{j-1}}\big)}_{\text{价格变动}},\qquad t\wedge s=\min\{t,s\}.\]

分段来看：\(t_{j-1}\le t\le t_j\) 时

\[I_t=\underbrace{\sum_{i=1}^{j-1}\Delta_{i-1}\big(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\big)}_{[0,t_{j-1}]\text{ 上的盈亏}}+\underbrace{\Delta_{j-1}\big(W_t-W_{t_{j-1}}\big)}_{[t_{j-1},t]\text{ 上的盈亏}},\]

\(t\ge t_n\) 之后不再变化——我们已经停止交易了。

简单 \(\Delta\) 的性质

线性、适应：和离散时间一样。
路径连续（新性质）：每一项 \(t\mapsto\Delta_{j-1}(W_{t\wedge t_j}-W_{t\wedge t_{j-1}})\) 都连续，因为 \(W\) 连续；有限个连续过程之和仍连续。
鞅。取 \(t_{j-1}<s<t_j<t\)（相邻两段）：
\[\begin{aligned} E[I_t-I_s\mid\mathcal F_s]&=E[\Delta_{j-1}(W_{t_j}-W_s)\mid\mathcal F_s]+E\big[E[\Delta_j(W_t-W_{t_j})\mid\mathcal F_{t_j}]\mid\mathcal F_s\big]\\ &=\Delta_{j-1}\cdot0+E[\Delta_j\cdot0\mid\mathcal F_s]=0. \end{aligned}\]
关键在于头寸是在每段开始时选定的。
Itô 等距： \(\mathrm{Var}[I_t]=E\Big[\int_0^t\Delta_s^2\,ds\Big]\)。
二次变差： \([I,I]_t=\int_0^t\Delta_s^2\,ds\)。

证明：简单被积函数的 Itô 等距

\(I_0=0\) 且 \(I\) 是鞅，所以 \(\mathrm{Var}[I_t]=E[I_t^2]\)。重新编号使 \(t=t_j\)，\(I_t=\sum_{i=1}^j\Delta_{t_{i-1}}(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\)。交叉项和第 02 篇一样消失（对较晚的左端点取条件），对角项为

\[E\big[\Delta_{t_{i-1}}^2(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^2\big]=E\big[\Delta_{t_{i-1}}^2\,E[(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^2\mid\mathcal F_{t_{i-1}}]\big]=E\big[\Delta_{t_{i-1}}^2(t_i-t_{i-1})\big].\]

\(\Delta\) 在每段 \((t_{i-1},t_i]\) 上是常数，所以

\[\mathrm{Var}[I_t]=E\Big[\sum_{i=1}^j\Delta_{t_{i-1}}^2(t_i-t_{i-1})\Big]=E\Big[\int_0^t\Delta_s^2\,ds\Big].\]

证明：简单被积函数的二次变差

把一段 \([t_{i-1},t_i]\) 细分为 \(s_0<s_1<\dots<s_n\)。段内头寸不变，\(I_{s_k}-I_{s_{k-1}}=\Delta_{t_{i-1}}(W_{s_k}-W_{s_{k-1}})\)，所以

\[[I,I]^\Pi_{[t_{i-1},t_i]}=\Delta_{t_{i-1}}^2\,[W,W]^\Pi_{[t_{i-1},t_i]}\ \longrightarrow\ \Delta_{t_{i-1}}^2(t_i-t_{i-1}).\]

对各段求和，\([I,I]_t=\sum_i\Delta_{t_{i-1}}^2(t_i-t_{i-1})=\int_0^t\Delta_s^2\,ds\)。

注意后两条的区别：\([I,I]_t\) 是逐条路径的随机量；等距是它的期望。

4. 一般被积函数：先逼近，再取 \(L^2\) 极限

固定 \(T>0\)。记 \(\mathcal L\) 为满足以下条件的被积函数 \(\Delta\) 的全体：

适应；
平方可积：\(E\Big[\int_0^T\Delta_s^2\,ds\Big]<\infty\)。

对 \(\Delta\in\mathcal L\) 和步长趋于 0 的划分 \(\Pi^n\)，把 \(\Delta\) 冻结在左端点：

\[\Delta^n_t=\Delta_0\mathbf 1_{\{t=0\}}+\sum_{j=1}^n\Delta_{t_{j-1}}\mathbf 1_{\{t\in(t_{j-1},t_j]\}},\qquad I^n_t=I(\Delta^n)_t .\]

\(\Delta^n\) 是 \(\Delta\) “只在网格时刻调仓”的简单版本，\(I^n\) 有明确定义。固定 \(\omega\) 时 \(\lim I^n_t(\omega)\) 不一定存在；我们改为取均方意义下的极限。

第 1 步——逼近是好的。 课上的一个关键结论：对 \(\Delta\in\mathcal L\)，

\[\lim_{n\to\infty}E\Big[\int_0^T(\Delta^n_s-\Delta_s)^2\,ds\Big]=0,\]

记作 \(\Delta^n\to\Delta\) 于 \(L^2([0,T]\times\Omega)\)。（直观：调仓网格越来越细，冻结后的策略在时间和情景上平均来说就越来越贴近真实策略。）

第 2 步——所以逼近序列是柯西列。 由 \((a+b)^2\le2a^2+2b^2\)，

\[(\Delta^n_u-\Delta^m_u)^2\le2(\Delta^n_u-\Delta_u)^2+2(\Delta_u-\Delta^m_u)^2\ \Longrightarrow\ \lim_{n,m\to\infty}E\int_0^T(\Delta^n_s-\Delta^m_s)^2ds=0.\]

第 3 步——等距把这一点传给积分。 由线性，\(I^n_t-I^m_t=I(\Delta^n-\Delta^m)_t\)，而 \(\Delta^n-\Delta^m\) 是简单的，所以

\[\mathrm{Var}\big[I^n_t-I^m_t\big]=E\Big[\int_0^t(\Delta^n_u-\Delta^m_u)^2du\Big]\le E\Big[\int_0^T(\Delta^n_u-\Delta^m_u)^2du\Big]\xrightarrow{n,m\to\infty}0.\]

第 4 步——把积分定义为极限。 \(I^n\) 在均方意义下是柯西列，所以（作为过程）收敛到某个 \(I\)，定义

\[\Big(\int_0^t\Delta_s\,dW_s\Big)(\omega):=I_t(\omega),\qquad t\le T.\]

等距为什么是主角。 它说”策略 \(\mapsto\) 盈亏”这个映射保持距离：两个策略在 \(E\int(\cdot)^2\) 意义下接近，盈亏在方差意义下就接近。于是”逼近策略”自动给出”逼近积分”——即使没有任何一条路径按经典意义收敛。

5. 一般被积函数的性质

对 \(\Delta\in\mathcal L\) 全部保留：

线性： \(I(\alpha\Delta+\beta\psi)=\alpha I(\Delta)+\beta I(\psi)\)；
路径连续，\(I_0=0\)；
适应；
鞅；
Itô 等距： \(\mathrm{Var}[I_t]=E\Big[\int_0^t\Delta_s^2\,ds\Big]\)；
二次变差： 逐条路径 \([I,I]_t=\int_0^t\Delta_s^2\,ds\)。

用微分记号：\(dI_t=\Delta_t\,dW_t\)，\(d[I,I]_t=\Delta_t^2\,dt=(\Delta_t\,dW_t)^2\)——与 \((dW_t)^2=dt\) 一致。

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。