随机过程笔记 02｜随机游走、二次变差与布朗运动

21 Oct 2026 • 张梓源

导读

布朗运动最好理解的方式，是把它看成抛硬币游戏的极限。这一篇从随机游走出发，引入让随机分析和普通微积分分道扬镳的那个量——二次变差，然后说明布朗运动继承了这一切：它是鞅，\(W_t^2-t\) 是鞅，并且 \([W,W]_t=t\)。

要记住的结论：\((dW_t)^2=dt\)。 光滑曲线的二次变差是 0，布朗运动的路径不是，Itô 公式多出来的那一项就来自这里。

1. 随机游走

取无穷次公平抛硬币的空间，\(\omega=(\omega_1,\omega_2,\dots)\)，各次独立。定义

\[Z_j(\omega)=\begin{cases}+1,&\omega_j=H\\-1,&\omega_j=T\end{cases},\qquad M_0=0,\quad M_n=\sum_{j=1}^nZ_j\ (n\ge1).\]

\(Z_j\) 独立同分布，\(EZ_j=0\)，\(\mathrm{Var}(Z_j)=EZ_j^2=1\)。\(M\) 就是随机游走，\(Z_n=M_n-M_{n-1}\) 是它的增量。

性质。

\(M\) 是鞅。 \(\mathcal F_n\) = 前 \(n\) 次抛掷的信息；\(Z_{n+1}\) 只依赖第 \(n+1\) 次，所以 \(Z_{n+1}\perp\!\!\!\perp\mathcal F_n\)：
\[E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=E[M_n+Z_{n+1}\mid\mathcal F_n]=M_n+E[Z_{n+1}]=M_n.\]
独立增量。 \(0\le m<n\le p<q\) 时，\(M_n-M_m=\sum_{j=m+1}^nZ_j\) 与 \(M_q-M_p=\sum_{j=p+1}^qZ_j\) 用的是不相交的抛掷，所以独立。
增量的均值和方差。 \(E[M_n-M_m]=0\)，且
\[\mathrm{Var}(M_n-M_m)=\sum_{i,j=m+1}^nE[Z_iZ_j]=n-m,\qquad E[Z_iZ_j]=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\ne j.\end{cases}\]

2. 随机游走的平方

\(M_n^2\) 不是鞅——它会往上漂：

\[E[M_{n+1}^2\mid\mathcal F_n]=E[(M_n+Z_{n+1})^2\mid\mathcal F_n]=M_n^2+2M_nE[Z_{n+1}]+E[Z_{n+1}^2]=M_n^2+1.\]

所以 \(M^2\) 是下鞅；减掉漂移就修好了：\(Y_n:=M_n^2-n\) 满足 \(E[Y_{n+1}\mid\mathcal F_n]=M_n^2+1-(n+1)=Y_n\)，是鞅。

3. 二次变差（离散时间）

过程 \(X=\{X_n\}\) 的二次变差是一个过程：

\[[X,X]_0=0,\qquad [X,X]_n=\sum_{j=1}^n\big(X_j-X_{j-1}\big)^2 .\]

它把增量的平方加起来，衡量路径有多粗糙。（定义本身不要求 \(X\) 是鞅。）

随机游走：每个增量都是 \(\pm1\)，所以对每个 \(\omega\) 都有 \([M,M]_n=n\)——硬币不公平也一样。这是特例；一般来说 \([X,X]_n\) 同时依赖 \(n\) 和 \(\omega\)。
\(Y_n=M_n^2-n\)：用 \(M_j=M_{j-1}+Z_j\) 和 \(Z_j^2=1\)，
\[[Y,Y]_n=\sum_{j=1}^n\big(Z_j^2+2Z_jM_{j-1}-1\big)^2=\sum_{j=1}^n4M_{j-1}^2,\]
确实随 \(\omega\) 变化。

鞅与二次变差的两个结论

结论 1。 若 \(X\) 是鞅且 \(X_0=0\)，则 \(\mathrm{Var}(X_n)=E\big[[X,X]_n\big]\)。

证明

因为 \(EX_n=EX_0=0\)，\(\mathrm{Var}(X_n)=EX_n^2\)。把 \(X_n=\sum_j(X_j-X_{j-1})\) 平方展开：

\[X_n^2=\sum_{i=1}^n(X_i-X_{i-1})^2+\sum_{i\ne j}(X_i-X_{i-1})(X_j-X_{j-1}).\]

\(i<j\) 时，对 \(\mathcal F_{j-1}\) 取条件（Tower：对第二大的时间取条件）：

\[E[(X_i-X_{i-1})(X_j-X_{j-1})]=E\big[(X_i-X_{i-1})\,E[X_j-X_{j-1}\mid\mathcal F_{j-1}]\big]=E[(X_i-X_{i-1})\cdot0]=0.\]

交叉项消失，\(EX_n^2=E[X,X]_n\)。对随机游走就是 \(\mathrm{Var}(M_n)=n=E[M,M]_n\)。

结论 2（二次变差是补偿项）。 若 \(X\) 是鞅且 \(EX_n^2<\infty\)，则 \(\{X_n^2-[X,X]_n\}\) 是鞅。

证明

令 \(Y_n=X_n^2-[X,X]_n\)，则

\[Y_n-Y_{n-1}=X_n^2-X_{n-1}^2-(X_n-X_{n-1})^2=2X_{n-1}(X_n-X_{n-1}),\]

而 \(E[2X_{n-1}(X_n-X_{n-1})\mid\mathcal F_{n-1}]=2X_{n-1}\cdot0=0\)。

\([X,X]_n\) 只增不减，所以 \(X_n^2\) 本身是下鞅；必须补偿（减掉）\([X,X]\) 才是鞅，这就是 \([X,X]\) 又叫补偿项（compensator）的原因。前面的 \(M_n^2-n\) 就是 \([M,M]_n=n\) 的特例。

4. 从随机游走到布朗运动

随机游走和布朗运动的共同点：独立增量，增量均值为 0、方差等于经过的时间。不同点：\(M\) 是离散时间、整数跳；\(W\) 是连续时间、取任意实数。

缩放随机游走。 时间加速 \(n\) 倍，跳幅缩到 \(1/\sqrt n\)：

\[W^{(n)}_t:=\frac1{\sqrt n}M_{\lfloor nt\rfloor}.\]

独立增量： 从 \(M\) 继承。
均值和方差对得上： 取 \(ns,nt\) 为整数，
\[E[W^{(n)}_t-W^{(n)}_s]=0,\qquad \mathrm{Var}[W^{(n)}_t-W^{(n)}_s]=\frac1n\,\mathrm{Var}[M_{nt}-M_{ns}]=\frac{nt-ns}{n}=t-s.\]
极限是正态（中心极限定理）：
\[W^{(n)}_t-W^{(n)}_s=\underbrace{\sqrt{\frac{\lfloor nt\rfloor-\lfloor ns\rfloor}{n}}}_{\to\sqrt{t-s}}\cdot\underbrace{\frac1{\sqrt{\lfloor nt\rfloor-\lfloor ns\rfloor}}\sum_{j=\lfloor ns\rfloor+1}^{\lfloor nt\rfloor}Z_j}_{\to N(0,1)\text{（CLT）}}\ \Longrightarrow\ N(0,t-s).\]

所以 \(W^{(n)}\to W\)：布朗运动是存在的，它就是从很远的地方看一场抛硬币游戏。（注意 CLT 里的”\(n\)“是这段时间里的抛掷次数 \(\lfloor nt\rfloor-\lfloor ns\rfloor\)。）

5. 布朗运动的性质

回忆第 01 篇的定义：\(W_0=0\)；路径连续；\(W_t-W_s\sim N(0,t-s)\)；独立增量。若 \(W\) 还适应于 \(\mathbb F\) 且 \(W_t-W_s\perp\!\!\!\perp\mathcal F_s\)，就说它是关于 \(\mathbb F\) 的布朗运动。

1. 鞅。 第 01 篇已证。连续时间下上鞅、下鞅以及 \(EX_t\) 的单调性和离散时间完全一样。

2. 协方差。 \(s<t\) 时，减一项加一项凑出独立增量：

\[\mathrm{Cov}(W_s,W_t)=E[W_sW_t]=E[W_s(W_t-W_s)]+E[W_s^2]=0+s=\min(s,t).\]

所以 \((W_s,W_t)\) 联合正态：

\[\begin{pmatrix}W_s\\W_t\end{pmatrix}\sim N\left(\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}s&s\\s&t\end{pmatrix}\right).\]

3. 条件分布与马尔可夫性。 用 \(Y\sim N(\mu,\sigma^2)\) 时 \(E[e^{\alpha Y}]=e^{\alpha\mu+\frac12\alpha^2\sigma^2}\)：

\[E[e^{\alpha W_t}\mid\mathcal F_s]=e^{\alpha W_s}\,E[e^{\alpha(W_t-W_s)}]=e^{\alpha W_s+\frac12\alpha^2(t-s)}\ \Longrightarrow\ W_t\mid\mathcal F_s\sim N(W_s,\ t-s).\]

给定到 \(s\) 为止的一切，\(W_t\) 的分布只依赖 \(W_s\)——这就是马尔可夫性。转移密度为

\[p(\tau,y,x)=\frac1{\sqrt{2\pi\tau}}\,e^{-\frac{(x-y)^2}{2\tau}},\qquad E[h(W_{s+\tau})\mid W_s=y]=\int_{\mathbb R}h(x)\,p(\tau,y,x)\,dx,\]

读作”用时间 \(\tau\) 从 \(y\) 走到 \(x\) 附近”。

4. \(W_t^2-t\) 是鞅。 用 \(W_t^2=(W_t-W_s)^2+2(W_t-W_s)W_s+W_s^2\)：

\[E[W_t^2-t\mid\mathcal F_s]=(t-s)+0+W_s^2-t=W_s^2-s.\]

这是 \(M_n^2-n\) 的连续时间版本。

6. 连续时间的二次变差

固定 \(t\) 和划分 \(\Pi=\{0=t_0<t_1<\dots<t_n=t\}\)，步长 \(\Vert \Pi\Vert =\max_j(t_j-t_{j-1})\)。定义

\[[X,X]^\Pi_t=\sum_{j=1}^n\big(X_{t_j}-X_{t_{j-1}}\big)^2,\qquad [X,X]_t=\lim_{\Vert \Pi\Vert \to0}[X,X]^\Pi_t .\]

区间上的 \([X,X]_{[s,t]}\) 同样定义，且二次变差是累加的：\([X,X]_t=[X,X]_s+[X,X]_{[s,t]}\)。

定理。 以概率 1，\([W,W]_t=t\)，\([W,W]_{[s,t]}=t-s\)。

直观。 缩放随机游走 \([W^{(n)},W^{(n)}]_t=\frac1n\lfloor nt\rfloor\in[t-\frac1n,t]\)，而 \(W^{(n)}\to W\)。

证明梗概

取均匀划分 \(t_j=jt/n\)，则

\[[W,W]^\Pi_t=\frac tn\sum_{j=1}^n\left(\frac{W_{t_j}-W_{t_{j-1}}}{\sqrt{t_j-t_{j-1}}}\right)^2=t\cdot\frac1n\sum_{j=1}^nZ_j^2,\]

\(Z_j\) 独立同分布 \(N(0,1)\)。由强大数定律 \(\frac1n\sum Z_j^2\to E[Z^2]=1\)，所以 \([W,W]^\Pi_t\to t\)。一般划分下，证明 \(E\big[[W,W]^\Pi_t\big]=t\) 且 \(\mathrm{Var}\big[[W,W]^\Pi_t\big]\le K\Vert \Pi\Vert\)（\(K\) 只依赖 \(t\)），即可推出收敛到 \(t\)。

结论 2 也推广到连续时间：若 \(X\) 是连续鞅且 \(EX_t^2<\infty\)，则 \(X_t^2-[X,X]_t\) 是鞅（证明要用第 04 篇的 Itô 公式）。

7. 布朗运动的路径为什么必须粗糙

路径的一阶变差是 \(FV(X)_t=\lim_{\Vert \Pi\Vert \to0}\sum_j\vert X_{t_j}-X_{t_{j-1}}\vert\)。对光滑路径，由中值定理

\[FV(X)_t=\lim\sum_j(t_j-t_{j-1})\vert X'(\xi_j)\vert=\int_0^t\vert X'_s\vert\,ds<\infty.\]

一阶变差有限 ⟹ 二次变差为 0（路径连续时）：

\[\sum_j(X_{t_j}-X_{t_{j-1}})^2\le\underbrace{\max_j\vert X_{t_j}-X_{t_{j-1}}\vert}_{\to0\ \text{（连续）}}\cdot\underbrace{\sum_j\vert X_{t_j}-X_{t_{j-1}}\vert}_{\to FV(X)_t<\infty}\ \to0.\]

而 \([W,W]_t=t>0\)，所以布朗运动的路径一阶变差不可能有限；事实上它以概率 1 处处不可微。

这种粗糙不是缺点：如果价格路径是光滑的，局部就是可预测的，可预测就意味着套利。

大家都在用的启发式写法。 对 \([W,W]_t=t\) 求微分得 \(d[W,W]_t=dt\)，人们写成

\[(dW_t)^2=dt,\]

想的是 \([W,W]_{[t,t+dt]}\approx\sum(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})^2\)。开方说”\(dW_t=\sqrt{dt}\)“没有意义，但乘法规则 \((dW_t)^2=dt\) 完全正确，第 04 篇整篇都靠它。

本系列目录

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。