随机过程笔记 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理

21 Oct 2026 • 张梓源

导读

第 05 篇给看涨期权定了价。这一篇用一个公式给任意收益定价：

\(V_t=E^{\mathbb Q}\big[e^{-r(T-t)}V_T\mid\mathcal F_t\big]\)。

价格是净现值——但要在另一个概率测度 \(\mathbb Q\) 下算，在 \(\mathbb Q\) 下股票只赚无风险利率。然后回答几个自然的问题：测度变换是什么？为什么 \(\mathbb P\) 和 \(\mathbb Q\) 对什么可能发生意见一致，对多大可能意见不同？Girsanov 定理又是怎么通过平移布朗运动把 \(\mu\) 变成 \(r\) 的？

1. 从看涨期权到任意未定权益

回顾 Black–Scholes 设定。 \(\mathbb P\) 下 \(S\sim GBM(\mu,\sigma)\)；货币市场利率为常数 \(r\)；自融资策略 \(\Delta\)。贴现财富：

\[d(e^{-rt}X_t)=e^{-rt}\big((\mu-r)\Delta_tS_t\,dt+\sigma\Delta_tS_t\,dW_t\big).\]

对看涨期权我们得到：令 \(\widetilde{\mathbb P}\) 下 \(\widetilde S\sim GBM(r,\sigma)\)，

\[c(t,s)=E^{\widetilde{\mathbb P}}\big[e^{-r(T-t)}(\widetilde S_T-K)^+\mid\widetilde{\mathcal F}_t,\ \widetilde S_t=s\big],\]

初始资金 \(x=c(0,S_0)\)，策略 \(\Delta_t=c_s(t,S_t)\)，终值财富 \(X_T=(S_T-K)^+\)，由无套利，\(c(0,S_0)\) 就是价格。现在推广。

未定权益。 在 \(T\) 时支付 \(V_T\)，\(V_T\) 可以是任何足够可积的 \(\mathcal F_T\) 可测随机变量：

权益	收益 \(V_T\)
看涨期权	\((S_T-K)^+\)
看跌期权	\((K-S_T)^+\)
亚式看涨	\(\Big(\frac1T\int_0^TS_t\,dt-K\Big)^+\)
回望期权	\(\max_{t\le T}S_t-S_T\)
向上敲出看涨	\((S_T-K)^+\,\mathbf 1_{\{\max_{t\le T}S_t\le L\}}\)

2. 两个假设与定价公式

风险中性测度。 \((\Omega,\mathcal F)\) 上存在测度 \(\mathbb Q\)，使 \(\mathbb Q\) 下 \(S\sim GBM(r,\sigma)\)。等价地，存在 \(\mathbb Q\)-布朗运动 \(W^{\mathbb Q}\) 使
\[\frac{dS_t}{S_t}=\underbrace{\mu\,dt+\sigma\,dW_t}_{\mathbb P\text{ 下}}=\underbrace{r\,dt+\sigma\,dW^{\mathbb Q}_t}_{\mathbb Q\text{ 下}}.\]
可复制。 存在 \(x\) 和 \(\Delta\) 使 \(\mathbb P[X^{x,\Delta}_T=V_T]=\mathbb Q[X^{x,\Delta}_T=V_T]=1\)。

贴现财富是 \(\mathbb Q\)-鞅。 在 \(\mathbb Q\) 下漂移项消失：

\[d(e^{-rt}X_t)=e^{-rt}\sigma\Delta_tS_t\,dW^{\mathbb Q}_t .\]

所以 \(\mathbb Q\) 也叫鞅测度。

在 \([t,T]\) 上复制。 无套利论证从任何起始时间都成立：\(t\) 时持有 \(X_t\)（\(t\) 时已知），在 \([t,T]\) 上自融资交易，最后得到 \(V_T\)，那么 \(t\) 时的价格必须是 \(X_t\)。

确定 \(V_t\)。 由可复制，\(e^{-rT}X_T=e^{-rT}V_T\)。由鞅性质，

\[e^{-rt}X_t=E^{\mathbb Q}\big[e^{-rT}X_T\mid\mathcal F_t\big]=E^{\mathbb Q}\big[e^{-rT}V_T\mid\mathcal F_t\big].\]

又因为 \(V_T=X_T=X_t+\int_t^TdX_u\)，\(t\) 时手里有 \(X_t\) 恰好足以交付 \(V_T\)，所以

\[\boxed{\ V_t=X_t=E^{\mathbb Q}\big[e^{-r(T-t)}V_T\mid\mathcal F_t\big]\ }\]

怎么读。 推理链是：（i）复制组合就是这份权益，所以权益价格等于组合价值；（ii）\(\mathbb Q\) 下每个贴现自融资组合都是公平赌局，所以今天的贴现价值等于终值贴现后的期望；（iii）终值就是收益。价格是净现值——不是在真实测度下，而是在风险资产和无风险资产期望收益相同的测度下。

这两个假设引出五个问题：\(\mathbb Q\) 怎么得到？\(\mathbb P\) 和 \(\mathbb Q\) 什么关系？怎么在两者之间切换？为什么 \(\mathbb Q\) 下 \(S\sim GBM(r,\sigma)\)？\(W^{\mathbb Q}\) 从哪来？本篇剩下的部分逐一回答。

3. 换测度会改变什么

不受测度影响的（只涉及集合和映射）：

\(\Omega\)，结果的集合；
\(\mathcal F\)，信息（\(\Omega\) 的子集族）；
\(\mathbb F\)，信息流；
随机变量 \(X:\Omega\to\mathbb R\)——只是一个映射；
过程 \(\{X_t\}\)；
适应性：\(\{\omega:X_t(\omega)\in E\}\in\mathcal F_t\)。

受测度影响的（涉及可能性）：

概率 \(P(A)=E^P[\mathbf 1_A]\)；
期望 \(E\big[\sum_i\alpha_i\mathbf 1_{A_i}\big]=\sum_i\alpha_iP(A_i)\)；
矩母函数 \(\alpha\mapsto E^P[e^{\alpha X}]\)；
分布 \(P(X\le t)\)；
鞅性质 \(E[X_t\mid\mathcal F_s]=X_s\)；
独立性 \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)。

所以股价路径还是那些路径，变的只是我们给它们的权重——漂移也随之改变。

4. 测度变换的构造

给定 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\)，任取随机变量 \(Z\)，\(\mathbb P[Z>0]=1\)（记作 \(Z>0\)）且 \(E^{\mathbb P}[Z]=1\)。定义

\[\mathbb Q(A):=E^{\mathbb P}[Z\,\mathbf 1_A],\qquad A\in\mathcal F .\]

\(\mathbb Q\) 是概率测度：\(\mathbb Q(A)\ge0\)；\(\mathbb Q(\Omega)=E^{\mathbb P}[Z]=1\)；可列可加，比如 \(A,B\) 不交时 \(\mathbb Q(A\cup B)=E^{\mathbb P}[(\mathbf 1_A+\mathbf 1_B)Z]=\mathbb Q(A)+\mathbb Q(B)\)。

例：公平硬币变不公平硬币。 抛两次，\(\mathbb P\) 下公平且独立。令

\[Z(HH)=\tfrac49,\quad Z(HT)=Z(TH)=\tfrac89,\quad Z(TT)=\tfrac{16}9,\qquad E^{\mathbb P}Z=\tfrac14\Big(\tfrac49+\tfrac89+\tfrac89+\tfrac{16}9\Big)=1 .\]

则 \(\mathbb Q(HH)=\frac14\cdot\frac49=\frac19\)，\(\mathbb Q(HT)=\mathbb Q(TH)=\frac29\)，\(\mathbb Q(TT)=\frac49\)。\(\mathbb Q\) 下两次抛掷仍然独立（\(\frac19=\frac13\cdot\frac13\) 等），但硬币不公平了：\(\mathbb Q(H)=\frac13\)。

等价。 因为 \(Z>0\)：\(\mathbb P(A)>0\Rightarrow\mathbb Q(A)=E^{\mathbb P}[Z\mathbf 1_A]>0\)，反之亦然。所以 \(\mathbb P(A)>0\iff\mathbb Q(A)>0\)，称 \(\mathbb P,\mathbb Q\) 等价。等价不是相等：它们对什么能发生、什么不能发生意见一致，对可能性大小不必一致（\(\mathbb P(A)=0.01\)、\(\mathbb Q(A)=0.99\) 完全可以）。

Radon–Nikodym 导数。 \(\dfrac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}:=Z\)，也叫似然比。在有限空间上

\[\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}(\omega)=\frac{\mathbb Q(\{\omega\})}{\mathbb P(\{\omega\})}=Z(\omega).\]

5. 平移正态分布的均值

\(\mathbb P\) 下 \(X\sim N(0,\sigma^2)\)，\(\theta\in\mathbb R\)，\(Z=e^{-\theta X-\frac12\sigma^2\theta^2}\)。则 \(Z>0\)，\(E[Z]=e^{-\frac12\sigma^2\theta^2}E[e^{-\theta X}]=1\)。在 \(\mathbb Q(A)=E^{\mathbb P}[Z\mathbf 1_A]\) 下：

\[E^{\mathbb Q}[e^{\alpha X}]=E^{\mathbb P}\big[e^{(\alpha-\theta)X}\big]e^{-\frac12\sigma^2\theta^2}=e^{\frac12\sigma^2(\alpha-\theta)^2-\frac12\sigma^2\theta^2}=e^{-\sigma^2\theta\alpha+\frac12\sigma^2\alpha^2},\]

所以 \(X\overset{\mathbb Q}{\sim}N(-\sigma^2\theta,\ \sigma^2)\)，即 \(X+\sigma^2\theta\overset{\mathbb Q}{\sim}N(0,\sigma^2)\)。乘一个指数权重，均值平移，方差不变。

一般情形。 要把 \(\mathbb P\) 下的 \(N(\mu_P,\sigma^2)\) 变成 \(\mathbb Q\) 下的 \(N(\mu_Q,\sigma^2)\)，取 \(\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}=\frac{e^{-\theta X}}{E^{\mathbb P}[e^{-\theta X}]}=e^{-\theta X-\frac12\sigma^2\theta^2+\theta\mu_P}\)。则

\[E^{\mathbb Q}[e^{\alpha X}]=\exp\Big\{\alpha(\mu_P-\theta\sigma^2)+\tfrac12\alpha^2\sigma^2\Big\},\qquad\text{所以需要}\quad \theta=\frac{\mu_P-\mu_Q}{\sigma^2}.\]

6. 用到布朗运动和股价上

固定 \(T\)；\(\mathbb P\) 下 \(W_T\sim N(0,T)\)。取 \(\theta=\frac{\mu-r}{\sigma}\)，

\[Z=e^{-\theta W_T-\frac12\theta^2T}.\]

由第 5 节（\(\sigma^2=T\)，\(\mu_P=0\)），\(\mathbb Q\) 下 \(W^{\mathbb Q}_T:=W_T+\theta T\sim N(0,T)\)。因为 \(\mu-\sigma\theta=r\)，

\[S_T=S_0\exp\Big\{\big(\mu-\tfrac12\sigma^2\big)T+\sigma W_T\Big\}=S_0\exp\Big\{\big(r-\tfrac12\sigma^2\big)T+\sigma W^{\mathbb Q}_T\Big\}.\]

所以在固定的时刻 \(T\)，\(\mathbb Q\) 下 \(S_T\) 看起来像 \(GBM(r,\sigma)\)。要让 \(\mathbb Q\) 下 \(S\sim GBM(r,\sigma)\) 对所有 \(t\le T\) 成立，还需要更多：\(t\mapsto W^{\mathbb Q}_t=W_t+\theta t\) 是不是 \([0,T]\) 上的 \(\mathbb Q\)-布朗运动？等价地问

\[\frac{dS_t}{S_t}=\mu\,dt+\sigma\,dW_t\overset{?}{=}r\,dt+\sigma\,dW^{\mathbb Q}_t,\qquad W^{\mathbb Q}_t=W_t+\frac{\mu-r}{\sigma}t ?\]

核心就是验证 \(W^{\mathbb Q}\) 是布朗运动。（注意 \(Z_t=E^{\mathbb P}[Z_T\mid\mathcal F_t]=e^{-\theta W_t-\frac12\theta^2t}\) 是 \(\mathbb P\)-鞅——第 04 篇的指数鞅。）

7. Girsanov 定理

简单版。 若 \(W\) 是 \(\mathbb P\)-布朗运动，\(Z_T=e^{-\theta W_T-\frac12\theta^2T}\)，\(\mathbb Q(A)=E^{\mathbb P}[\mathbf 1_AZ_T]\)，则

\[t\mapsto W^{\mathbb Q}_t:=W_t+\theta t\ \text{ 是 }[0,T]\text{ 上的 }\mathbb Q\text{-布朗运动}.\]

一般版。 固定 \((\widetilde\Omega,\widetilde{\mathcal F},\widetilde{\mathbb F},\widetilde{\mathbb P})\) 和 \(\widetilde{\mathbb P}\)-布朗运动 \(\widetilde W\)，以及适应的 \(\widetilde\theta\)。令

\[\widetilde Z_t=\exp\Big(-\int_0^t\widetilde\theta_u\,d\widetilde W_u-\frac12\int_0^t\widetilde\theta_u^2\,du\Big),\quad t\le T,\qquad \frac{d\widetilde{\mathbb Q}}{d\widetilde{\mathbb P}}=\widetilde Z_T\ \text{于 }\widetilde{\mathcal F}_T .\]

则 \(\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_t=\widetilde W_t+\int_0^t\widetilde\theta_u\,du\)（\(t\le T\)）是 \(\widetilde{\mathbb Q}\)-布朗运动。

直观：用 \(Z\) 给路径重新加权，让往下漂的路径更可能、往上漂的路径更不可能，调整的幅度正好把”布朗运动加漂移 \(\theta\)“变回无漂移的布朗运动。

Lévy 刻画

直接从定义证明某个过程是布朗运动很麻烦。Lévy 刻画是捷径：若 \(\widetilde M\) 是路径连续的 \(\widetilde{\mathbb Q}\)-鞅，\(\widetilde M_0=0\) 且 \([\widetilde M,\widetilde M]_t=t\)，则 \(\widetilde M\) 是 \(\widetilde{\mathbb Q}\)-布朗运动。

所以证明 Girsanov 只需要：（1）\([\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}},\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}]_t=t\)；（2）\(\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}\) 是 \(\widetilde{\mathbb Q}\)-鞅。

Girsanov 的证明（θ 为常数）

第 1 步。 二次变差不依赖测度，漂移也没有贡献：

\[d[\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}},\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}]_t=(d\widetilde W_t+\widetilde\theta\,dt)^2=(d\widetilde W_t)^2=dt .\]

第 2 步。 对 \(s<t\) 和 \(A_s\in\widetilde{\mathcal F}_s\)，换到 \(\widetilde{\mathbb P}\) 下，用 Tower 和鞅 \(\widetilde Z_t=E^{\widetilde{\mathbb P}}[\widetilde Z_T\mid\widetilde{\mathcal F}_t]\)：

\[E^{\widetilde{\mathbb Q}}[\mathbf 1_{A_s}\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_t]=E^{\widetilde{\mathbb P}}[\mathbf 1_{A_s}\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_t\widetilde Z_T]=E^{\widetilde{\mathbb P}}[\mathbf 1_{A_s}\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_t\widetilde Z_t]=E^{\widetilde{\mathbb P}}\big[\mathbf 1_{A_s}f(t,\widetilde W_t)\big],\]

其中 \(f(t,w)=(w+\widetilde\theta t)\,e^{-\widetilde\theta w-\frac12\widetilde\theta^2t}\)。直接求导：

\[f_t=e^{-\widetilde\theta w-\frac12\widetilde\theta^2t}\,\widetilde\theta\big(1-\tfrac12\widetilde\theta w-\tfrac12\widetilde\theta^2t\big),\quad f_w=e^{-\widetilde\theta w-\frac12\widetilde\theta^2t}\big(1-\widetilde\theta w-\widetilde\theta^2t\big),\quad f_{ww}=e^{-\widetilde\theta w-\frac12\widetilde\theta^2t}\big(-2\widetilde\theta+\widetilde\theta^2w+\widetilde\theta^3t\big),\]

所以 \(f_t+\frac12f_{ww}=0\)，由 Itô \(df(t,\widetilde W_t)=f_w\,d\widetilde W_t\)：\(f(t,\widetilde W_t)\) 是 \(\widetilde{\mathbb P}\)-鞅。于是

\[E^{\widetilde{\mathbb Q}}[\mathbf 1_{A_s}\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_t]=E^{\widetilde{\mathbb P}}[\mathbf 1_{A_s}f(s,\widetilde W_s)]=E^{\widetilde{\mathbb P}}\big[\mathbf 1_{A_s}(\widetilde W_s+\widetilde\theta s)e^{-\widetilde\theta\widetilde W_s-\frac12\widetilde\theta^2s}\big].\]

对 \(\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_s\) 做同样的 Tower/TOWK 计算，得到完全相同的右边，所以

\[E^{\widetilde{\mathbb Q}}[\mathbf 1_{A_s}\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_t]=E^{\widetilde{\mathbb Q}}[\mathbf 1_{A_s}\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_s]\quad\text{对所有 }A_s\in\widetilde{\mathcal F}_s .\]

\(\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_s\) 是 \(\widetilde{\mathcal F}_s\) 可测的，由部分平均得 \(E^{\widetilde{\mathbb Q}}[\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_t\mid\widetilde{\mathcal F}_s]=\widetilde W^{\widetilde{\mathbb Q}}_s\)。\(\widetilde\theta_t\) 随时间变化时思路相同，只是记账多一些。

\(\mathbb Q\) 下的价格动态

由 Girsanov，\(W^{\mathbb Q}_t=W_t+\theta t\) 是 \([0,T]\) 上的 \(\mathbb Q\)-布朗运动；又 \(\mu-\sigma\theta=r\)，

\[dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\big(dW^{\mathbb Q}_t-\theta\,dt\big)=rS_t\,dt+\sigma S_t\,dW^{\mathbb Q}_t\iff S\overset{\mathbb Q}{\sim}GBM(r,\sigma).\]

\(\theta=\dfrac{\mu-r}{\sigma}\) 是风险的市场价格：每单位波动率的超额收益，也就是夏普比率。这就回答了第 2 节关于假设 1 的五个问题。

8. 假设 2：找对冲策略

先说好消息：\(\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}\big\vert_{\mathcal F_T}=Z_T>0\)，所以 \(\mathbb P\) 和 \(\mathbb Q\) 等价，只需证明 \(\mathbb Q[X_T=V_T]=1\)。

两个事实：

\(e^{-rt}X_t\) 是 \(\mathbb Q\)-鞅：\(d(e^{-rt}X_t)=e^{-rt}\Delta_tS_t\sigma\,dW^{\mathbb Q}_t\)。
\(M^V_t:=E^{\mathbb Q}[e^{-rT}V_T\mid\mathcal F_t]\) 是 \([0,T]\) 上的 \(\mathbb Q\)-鞅，由 Tower：\(E^{\mathbb Q}[M^V_t\mid\mathcal F_s]=E^{\mathbb Q}[e^{-rT}V_T\mid\mathcal F_s]=M^V_s\)。

我们想让这两个鞅成为同一个过程。假设 \(M^V\) 能写成随机积分，\(dM^V_t=\Gamma_t\,dW^{\mathbb Q}_t\)，\(\Gamma\) 适应。那么取

\[\Delta_t=\frac{\Gamma_t}{e^{-rt}\sigma S_t},\qquad t\le T,\]

就有 \(d(e^{-rt}X_t)=e^{-rt}\Delta_tS_t\sigma\,dW^{\mathbb Q}_t=\Gamma_t\,dW^{\mathbb Q}_t=dM^V_t\)。两者都从 \(x=M^V_0=E^{\mathbb Q}[e^{-rT}V_T]\) 出发，”起点相同 + 动态相同”给出对所有 \(t\) 都有 \(e^{-rt}X_t=M^V_t\)，到 \(T\) 时 \(X_T=V_T\)。

剩下的问题——是不是每个 \(\mathbb Q\)-鞅都能写成 \(\int\Gamma\,dW^{\mathbb Q}\)？——由鞅表示定理回答（信息流由布朗运动生成时，答案是肯定的）。换句话说：在布朗运动驱动的世界里，每一个公平赌局都是一种股票交易策略，所以每一份权益都能被对冲——市场是完备的。

9. 二次协变差与分部积分

对连续的 \(X,Y\) 和 \([0,t]\) 的划分 \(\Pi\)，

\[[X,Y]^\Pi_t=\sum_{j}\big(X_{t_j}-X_{t_{j-1}}\big)\big(Y_{t_j}-Y_{t_{j-1}}\big),\qquad [X,Y]_t=\lim_{\Vert \Pi\Vert \to0}[X,Y]^\Pi_t .\]

对同一个 \(W\) 驱动的 Itô 过程 \(dX_t=\Theta_tdt+\Delta_tdW_t\)，\(dY_t=\phi_tdt+\psi_tdW_t\)，启发式 \(d[X,Y]_t=dX_t\,dY_t\) 给出

\[d[X,Y]_t=\Delta_t\psi_t\,dt,\qquad [X,Y]_t=\int_0^t\Delta_s\psi_s\,ds,\]

\(\Delta\equiv0\) 或 \(\psi\equiv0\) 时 \([X,Y]\equiv0\)。

用极化恒等式证明

对任意数有 \(4(a-b)(c-d)=\big((a+c)-(b+d)\big)^2-\big((a-c)-(b-d)\big)^2\)，所以

\[[X,Y]=\tfrac14\big([X+Y,X+Y]-[X-Y,X-Y]\big).\]

\(X\pm Y\) 是 Itô 过程，\(dW\) 系数为 \(\Delta_t\pm\psi_t\)，所以

\[d[X,Y]_t=\tfrac14\big((\Delta_t+\psi_t)^2-(\Delta_t-\psi_t)^2\big)dt=\Delta_t\psi_t\,dt .\]

随机分部积分。

\[d(X_tY_t)=X_t\,dY_t+Y_t\,dX_t+d[X,Y]_t=\big(X_t\phi_t+Y_t\Theta_t+\Delta_t\psi_t\big)dt+\big(X_t\psi_t+Y_t\Delta_t\big)dW_t,\]

仍是 Itô 过程。对光滑（没有 \(dW\) 项）的 \(f,g\)，括号项为零，回到普通的乘积法则 \(d(f_tg_t)=f_t\,dg_t+g_t\,df_t\)。

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。