随机过程笔记 01｜概率空间、信息流、条件期望与鞅

21 Oct 2026 • 张梓源

导读

这个系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析） 时的课堂笔记，整理成 7 篇。

整门课都挂在一句话上：“Let \(W\) be a Brownian motion adapted to a filtration \(\mathbb F\). Then \(W\) is a martingale.” 这一篇把这句话里的每个词拆开讲清楚——概率空间、随机变量、信息流（filtration）、适应、条件期望、鞅，后面几篇就可以直接拿来用。

1. 概率空间 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\)

\(\Omega\)：样本空间，\(\omega\in\Omega\) 是一个结果（”世界的一种情景”）。
\(\mathcal F\)：事件的集合。事件是一组结果，所以每个 \(A\in\mathcal F\) 都是 \(\Omega\) 的子集。
\(\mathbb P\)：概率函数，\(\mathbb P:\mathcal F\to[0,1]\)。

一个容易忽略的点：\(\mathbb P\) 是定义在 \(\mathcal F\) 上的函数，不是定义在 \(\Omega\) 上的。 所以 \(\mathbb P[\omega]\) 没有定义；\(\mathbb P[\{\omega\}]\) 只有在 \(\{\omega\}\in\mathcal F\) 时才有定义。

例：有限、等可能的空间。 \(\Omega=\{1,2,\dots,N\}\)，\(\mathcal F=2^\Omega\)（幂集，\(\Omega\) 的所有子集）。此时每个单点集都是事件，对 \(A\in\mathcal F\)

\[\mathbb P(A)=\frac{\#\{i\in A\}}{N},\qquad\text{特别地 }\ \mathbb P[\{\omega\}]=\frac1N.\]

2. 随机变量、期望、独立

随机变量（r.v.）就是一个函数 \(X:\Omega\to\mathbb R\)：输入一个结果，输出一个数。

离散型： \(X\) 只取可数个值 \(E_X=\{x_1,x_2,\dots\}\)。概率质量函数 \(p(x)=\mathbb P[\{\omega:X(\omega)=x\}]=\mathbb P[X=x]\)，\(x\notin E_X\) 时 \(p(x)=0\)。
连续型（密度 \(f\)）： 对每个（Borel）集合 \(E\subseteq\mathbb R\)，\(\mathbb P(X\in E)=\int_Ef(x)\,dx\)。

期望是 \(X\) 按 \(\mathbb P\) 加权的平均：

\[E(X)=E^{\mathbb P}(X)=\int_\Omega\underbrace{X(\omega)}_{\text{大小}}\ \underbrace{d\mathbb P(\omega)}_{\text{可能性}}.\]

均值 \(=E(X)\)，方差 \(=E[(X-EX)^2]\)，\(N\) 阶中心矩 \(=E[\vert X-EX\vert ^N]\)。

独立。 \(X\perp\!\!\!\perp Y\) 当且仅当对所有（好的）函数 \(f,g\)

\[E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]\,E[g(Y)]\iff f_{X,Y}=f_Xf_Y.\]

记住 \(E^{\mathbb P}\) 的上标：第 06 篇会换掉 \(\mathbb P\)，这里所有的平均都会跟着变。

3. 随机过程与样本路径

随机过程是一族按时间编号的随机变量：

离散时间：\(X=\{X_0,X_1,X_2,\dots\}\)；
连续时间：\(X=\{X_t\}_{t\ge0}\)。

最清楚的理解方式是把过程看成两个变量的函数 \(X:[0,\infty)\times\Omega\to\mathbb R\)：

固定 \(t\)：\(\omega\mapsto X_t(\omega)\) 是一个随机变量；
固定 \(\omega\)：\(t\mapsto X_t(\omega)\) 是一条曲线，叫样本路径。每个情景 \(\omega\) 画出自己的一条曲线，所以随机过程就是”随机的曲线”。

若对所有 \(\omega\)，\(t\mapsto X_t(\omega)\) 都连续，就说 \(X\) 有连续的样本路径。

4. 布朗运动（初见）

过程 \(W=\{W_t\}_{t\ge0}\) 是布朗运动，如果

以概率 1，\(W_0=0\)；
以概率 1，样本路径 \(t\mapsto W_t\) 连续；
对 \(0\le s<t\)：\(W_t-W_s\sim N(0,\,t-s)\)；
对 \(0\le s<t\le u<v\)：\(W_v-W_u\) 与 \(W_t-W_s\) 独立。

（本系列中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律是方差。长度为 \(t-s\) 的时间段上，增量的方差是 \(t-s\)，标准差是 \(\sqrt{t-s}\)。）

5. 信息流：只增不减的信息

离散时间。 \(\mathbb F=\{\mathcal F_n\}_{n\ge0}\) 是信息流，如果每个 \(\mathcal F_n\subseteq\mathcal F\) 都是 \(\sigma\)-代数，且 \(m\le n\) 时 \(\mathcal F_m\subseteq\mathcal F_n\)。

连续时间。 \(\mathbb F=\{\mathcal F_t\}_{t\ge0}\)，\(0\le s\le t\) 时 \(\mathcal F_s\subseteq\mathcal F_t\subseteq\mathcal F\)。

把 \(\mathcal F_t\) 读作”到时刻 \(t\) 为止我们知道的一切”。唯一的要求是：信息只会越来越多，不会忘记。

由过程生成的信息流。 \(\mathcal F^X_n:=\sigma(X_0,\dots,X_n)\)，连续时间下 \(\mathcal F^X_t:=\sigma(X_s:0\le s\le t)\)——只看 \(X\) 到现在为止的走势所能得到的信息（包含这些信息的最小 \(\sigma\)-代数）。

6. 适应与可测

\(X\) 适应于 \(\mathbb F\)，如果 \(\mathbb F\) 里的信息在每个时刻都足以知道 \(X\)：

\(X_t\) 是 \(\mathcal F_t\) 可测的（”mbl”），即
对每个好的 \(E\subseteq\mathbb R\)，\(\{\omega:X_t(\omega)\in E\}\in\mathcal F_t\)。

直观：在时刻 \(t\)，只要知道 \(\mathcal F_t\)，就能读出 \(X_t\) 这个数，不需要偷看未来。

布朗运动的信息流。 称 \(\mathbb F\)（不一定是 \(\mathbb F^W\)）是 \(W\) 的信息流，如果

\(W\) 适应于 \(\mathbb F\)；
对所有 \(0\le s<t\)，\(W_t-W_s\) 与 \(\mathcal F_s\) 独立。

第二条的意思是：今天知道的一切，对明天的增量毫无帮助。

7. 条件期望

固定随机变量 \(X\) 和子 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal G\subseteq\mathcal F\)。条件期望 \(E[X\mid\mathcal G]\) 是一个随机变量，满足两条：

可测性： \(E[X\mid\mathcal G]\) 是 \(\mathcal G\) 可测的（知道 \(\mathcal G\) 就知道它）；
部分平均（partial averaging）： 对每个 \(A\in\mathcal G\)，

\[E[\mathbf 1_AX]=E\big[\mathbf 1_A\,E(X\mid\mathcal G)\big].\]

含义：\(E[X\mid\mathcal G]\) 是给定 \(\mathcal G\) 中信息时对 \(X\) 的最佳猜测。

部分平均的直观。 把 \(\mathcal G\) 想成把 \(\Omega\) 切成若干块”你分得清的区域”。在每一块 \(A\) 上，猜测值 \(E[X\mid\mathcal G]\) 的平均必须和 \(X\) 本身的平均一样。所以条件期望就是”在每个你能区分的区域内把 \(X\) 平均一下”——保留 \(\mathcal G\) 看得见的细节，抹平其余部分。例：抛两次硬币，\(X=\) 正面次数，\(\mathcal G=\) “第一次的结果”。在 \(\{H\ast\}\) 上猜测值是 \(1.5\)，在 \(\{T\ast\}\) 上是 \(0.5\)；验证 \(E[\mathbf 1_{\{H\ast\}}X]=\tfrac14(2+1)=\tfrac34=\tfrac12\cdot1.5\)。

性质（天天要用）

记号： 若 \(\mathcal G=\sigma(Y)\)，写 \(E[X\mid Y]\)。
独立： 若 \(X\perp\!\!\!\perp\mathcal G\)，则 \(E[X\mid\mathcal G]=E[X]\)。
已知： 若 \(X\) 是 \(\mathcal G\) 可测的，则 \(E[X\mid\mathcal G]=X\)。
线性： \(E[\alpha X+\beta Y\mid\mathcal G]=\alpha E[X\mid\mathcal G]+\beta E[Y\mid\mathcal G]\)。
提出已知量（TOWK）： 若 \(X\) 是 \(\mathcal G\) 可测的，\(E[XY\mid\mathcal G]=X\,E[Y\mid\mathcal G]\)。
塔性质（Tower）： 若 \(\mathcal H\subseteq\mathcal G\subseteq\mathcal F\)，则 \(E\big[E(X\mid\mathcal G)\mid\mathcal H\big]=E[X\mid\mathcal H]\)。

Tower 的记法：信息少的那个说了算；写成时间形式时，越靠后的时间放在越里面。

用在过程上。 \(X\) 适应，\(0\le s<t<u\)：

\[\text{TOWK：}E[f(X_s)g(X_t)\mid\mathcal F_s]=f(X_s)\,E[g(X_t)\mid\mathcal F_s],\qquad\text{Tower：}E[X_u\mid\mathcal F_s]=E\big[E(X_u\mid\mathcal F_t)\mid\mathcal F_s\big].\]

在时刻 \(s\)，\(X_s\) 就像常数；Tower 说的是”求平均在时间上是一致的”。

8. 鞅

定义（连续时间）。 适应过程 \(X\) 是鞅，如果对所有 \(0\le s<t\)

\[E[X_t\mid\mathcal F_s]=X_s\quad\text{（以概率 1）}.\]

离散时间同理（换成 \(n,m\)）；只需检查一步：对所有 \(n\)，\(E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n\)。

上鞅（\(\searrow\)）：\(E[X_t\mid\mathcal F_s]\le X_s\)——未来平均来说更小。
下鞅（\(\nearrow\)）：\(E[X_t\mid\mathcal F_s]\ge X_s\)。

取期望（用 Tower）：上鞅的 \(t\mapsto E[X_t]\) 不增，鞅为常数，下鞅不减。

直观：鞅就是公平的赌局。给定你所知道的一切，对明天的最佳预测就是今天的值。

布朗运动是鞅

设 \(\mathbb F\) 是 \(W\) 的信息流，\(s<t\)：

\[\begin{aligned} E[W_t\mid\mathcal F_s]&=E[W_t-W_s\mid\mathcal F_s]+E[W_s\mid\mathcal F_s]&&\text{（线性）}\\ &=E[W_t-W_s]+W_s&&(W_t-W_s\perp\!\!\!\perp\mathcal F_s;\ W_s\text{ 已知})\\ &=W_s&&(W_t-W_s\sim N(0,t-s)). \end{aligned}\]

这个技巧——把 \(W_t\) 写成 \((W_t-W_s)+W_s\)，”未来的增量加上已知的部分”——后面会反复用到。

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。