随机过程笔记 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母

21 Oct 2026 • 张梓源

导读

期权的价格就是复制它所需要的本金。这一篇搭好 Black–Scholes 市场，写出自融资交易者的财富，再把它和期权价格过程逐项对齐（\(dW\) 项和 \(dt\) 项）。对齐 \(dW\) 项得到 Delta 对冲，对齐 \(dt\) 项得到 Black–Scholes 偏微分方程。解方程得到 Black–Scholes 公式，对公式求导得到希腊字母。

一个值得早点注意的意外：股票的期望收益率 \(\mu\) 从价格里消失了。

1. 市场

固定 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb F,\mathbb P)\) 和布朗运动 \(W\)。两种资产可交易：

股票（风险资产），\(S\sim GBM(\mu,\sigma)\)：\(\dfrac{dS_t}{S_t}=\mu\,dt+\sigma\,dW_t\)，\(S_0>0\)。\(S_t(\omega)\) 是情景 \(\omega\) 下 \(t\) 时刻一股的价格。
货币市场（无风险资产），\(\dfrac{dB_t}{B_t}=r\,dt\)，\(B_0=1\)：0 时刻的 1 元到 \(t\) 时刻变成 \(e^{rt}\) 元，\(r>0\) 为常数。

2. 自融资策略与财富

交易策略 \(\Delta\) 是适应过程；\(\Delta_t(\omega)\) 是 \((t,\omega)\) 时持有的股数。初始资金为 \(x\)。自融资：不在股票里的钱全部放在货币市场，0 时刻之后没有钱进出。

财富 \(X=X^{x,\Delta}\) 拆成

\[X_t=\underbrace{\Delta_tS_t}_{\text{股票}}+\underbrace{X_t-\Delta_tS_t}_{\text{货币市场}},\]

货币市场部分相当于持有 \((X_t-\Delta_tS_t)/B_t\) “股” \(B\)。

财富动态。 在 \([t,t+dt]\) 开始时定好头寸：

\[X_{t+dt}-X_t=\Delta_t(S_{t+dt}-S_t)+\frac{X_t-\Delta_tS_t}{B_t}(B_{t+dt}-B_t)\ \xrightarrow{dt\to0}\ dX_t=\Delta_t\,dS_t+(X_t-\Delta_tS_t)\frac{dB_t}{B_t}.\]

代入 \(S\) 和 \(B\) 的动态：

\[dX_t=\big(rX_t+(\mu-r)\Delta_tS_t\big)dt+\sigma\Delta_tS_t\,dW_t,\]

\(X\) 是 Itô 过程。读法：全部资金赚 \(r\)，股票部分再多赚超额收益 \(\mu-r\)，再加上噪声。

3. “价格”指的是什么

我们要给欧式看涨期权定价：在到期日 \(T\) 以执行价 \(K\) 买入 \(S\) 的权利，收益 \((S_T-K)^+=\max(S_T-K,0)\)。

无套利价格 = 复制成本。 如果从 \(x\) 出发、用某个 \(\Delta\) 自融资交易，最后以概率 1 得到 \(X^{x,\Delta}_T=(S_T-K)^+\)，那么看涨期权的价格必须是 \(x\)。任何别的价格都能让你卖贵的、买便宜的，无风险地赚差价。

起点相同 + 动态相同 = 同一个过程。 若 \(dY_t=\Theta^Y_tdt+\Delta^Y_tdW_t\)，\(dZ_t=\Theta^Z_tdt+\Delta^Z_tdW_t\)，且 \(Y_0=Z_0\)，\(\Theta^Y\equiv\Theta^Z\)，\(\Delta^Y\equiv\Delta^Z\)，则对所有 \(t\le T\) 以概率 1 有 \(Y_t=Z_t\)。这就是一句话版的复制论证：对齐起点，再对齐 \(dt\) 项和 \(dW\) 项。

4. 把财富和期权价格对齐

令 \(c(t,s)\) 为 \(S_t=s\) 时 \(t\) 时刻的看涨期权价格。已知 \(c(T,s)=(s-K)^+\)，要求 \(t<T\) 时的 \(c\)。用贴现后的过程（代数更简单）：\(e^{-rt}X_t\) 和 \(e^{-rt}c(t,S_t)\)。

贴现财富。 用第 04 篇的贴现公式，

\[d(e^{-rt}X_t)=e^{-rt}(\mu-r)\Delta_tS_t\,dt+e^{-rt}\sigma\Delta_tS_t\,dW_t .\]

贴现价格。 假设 \(c\) 光滑（严格说收益函数在 \(s=K\) 处不可微，但 \(t<T\) 时 \(c\) 是光滑的）。由 \(d[S,S]_t=\sigma^2S_t^2dt\)，记 \((\cdot)=(t,S_t)\)：

\[d\big(e^{-rt}c(t,S_t)\big)=e^{-rt}\Big(-rc+c_t+c_s\,\mu S_t+\tfrac12c_{ss}\,\sigma^2S_t^2\Big)(\cdot)\,dt+e^{-rt}c_s(\cdot)\,\sigma S_t\,dW_t .\]

令 \(x=c(0,S_0)\) 并对齐：

\(dW\) 项： \(e^{-rt}\Delta_t\sigma S_t=e^{-rt}c_s(t,S_t)\sigma S_t\)，所以
\[\boxed{\ \Delta_t=c_s(t,S_t)\ }\quad\text{——Delta 对冲。}\]
\(dt\) 项： \(\Delta_t(\mu-r)S_t=-rc+c_t+c_s\mu S_t+\frac12c_{ss}\sigma^2S_t^2\)。代入 \(\Delta_t=c_s\)，两边的 \(c_s\mu S_t\) 抵消，剩下
\[0=-rc(t,S_t)+c_t(t,S_t)+rS_t\,c_s(t,S_t)+\tfrac12\sigma^2S_t^2\,c_{ss}(t,S_t).\]

只要对所有 \(t<T\)、\(s>0\) 都成立就够了，这就是 Black–Scholes 偏微分方程：

\[\begin{cases}0=-rc(t,s)+c_t(t,s)+rs\,c_s(t,s)+\tfrac12\sigma^2s^2\,c_{ss}(t,s),&t<T,\ s>0,\\[4pt] c(T,s)=(s-K)^+,&s>0.\end{cases}\]

\(\mu\) 不见了。 对冲把股票的风险完全抵消掉了，所以股票预期涨多快和价格无关。

5. 解方程

两步：（1）假设解 \(c\) 存在，求出它的表达式；（2）验证这个表达式确实满足方程。

第 1 步。 令 \(\widetilde S\sim GBM(r,\sigma)\)，在某个测度 \(\widetilde{\mathbb P}\) 下、布朗运动为 \(\widetilde W\)——注意换了测度，漂移是 \(r\) 而不是 \(\mu\)。由 Itô，

\[d\big(e^{-rt}c(t,\widetilde S_t)\big)=e^{-rt}\big(\underbrace{-rc+c_t+r\widetilde S_tc_s+\tfrac12\sigma^2\widetilde S_t^2c_{ss}}_{=0\ \text{（由方程）}}\big)dt+e^{-rt}c_s\,\sigma\widetilde S_t\,d\widetilde W_t,\]

所以贴现价格是 \(\widetilde{\mathbb P}\) 下的鞅。结合终值条件，

\[e^{-rt}c(t,\widetilde S_t)=E^{\widetilde{\mathbb P}}\big[e^{-rT}c(T,\widetilde S_T)\mid\widetilde{\mathcal F}_t\big]\quad\Longrightarrow\quad c(t,\widetilde S_t)=E^{\widetilde{\mathbb P}}\big[e^{-r(T-t)}(\widetilde S_T-K)^+\mid\widetilde{\mathcal F}_t\big].\]

用 \(\widetilde S_t\) 表示 \(\widetilde S_T\)：

\[\widetilde S_T=\widetilde S_t\exp\Big\{\big(r-\tfrac12\sigma^2\big)(T-t)+\sigma(\widetilde W_T-\widetilde W_t)\Big\}.\]

\(\widetilde S_t\) 在 \(t\) 时已知，\(\widetilde W_T-\widetilde W_t\perp\!\!\!\perp\widetilde{\mathcal F}_t\)，所以可以把 \(\widetilde S_t\) 固定为 \(s\)。由 \(\widetilde W_T-\widetilde W_t\sim N(0,T-t)\)：

\[c(t,s)=\frac{e^{-r(T-t)}}{\sqrt{2\pi(T-t)}}\int_{-\infty}^{\infty}\Big(s\,e^{(r-\frac12\sigma^2)(T-t)+\sigma z}-K\Big)^+e^{-\frac{z^2}{2(T-t)}}\,dz .\]

算出这个积分就是 Black–Scholes 公式：

\[\boxed{\ c(t,s)=s\,N\big(d_+(T-t,s)\big)-Ke^{-r(T-t)}N\big(d_-(T-t,s)\big)\ }\] \[d_\pm(\tau,s)=\frac1{\sigma\sqrt\tau}\Big(\log\frac sK+\big(r\pm\tfrac12\sigma^2\big)\tau\Big),\qquad N(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^ye^{-z^2/2}\,dz .\]

公式里只出现剩余期限 \(\tau=T-t\)，不出现绝对时间。

第 2 步。 直接验证这个 \(c\) 满足方程且 \(c(T,s)=(s-K)^+\)（是一道作业题；关键一步就是下面第 7 节验证的恒等式）。

6. 希腊字母

把 \(c\) 看成 \(c(t,s;T,K,r,\sigma)\)。对这些输入的敏感度就是希腊字母。记 \(\tau=T-t\)，\(d_\pm=d_\pm(\tau,s)\)。

希腊字母	定义	公式	符号
Delta	\(c_s\)	\(N(d_+)\)	\(>0\)
Gamma	\(c_{ss}\)	\(\dfrac{N'(d_+)}{\sigma s\sqrt\tau}\)	\(>0\)
Theta	\(c_t\)	\(-rKe^{-r\tau}N(d_-)-\dfrac{\sigma s}{2\sqrt\tau}N'(d_+)\)	\(<0\)
Vega	\(c_\sigma\)	\(s\sqrt\tau\,N'(d_+)\)	\(>0\)

Delta。 股价越高，看涨期权越值钱。复制策略是 \(\Delta_t=c_s(t,S_t)\)：只看 \(S\) 的一阶变化（假装 \(dt=0\)），\(dX_t=c_s\,dS_t=dc(t,S_t)\)，对冲和期权同步变动——我们是 Delta 中性的。

Gamma。 \(c_{ss}>0\)：看涨期权关于股价是凸的。看到 \(S\) 的二阶变化，

\[dX_t=c_s\,dS_t,\qquad dc(t,S_t)=c_s\,dS_t+\tfrac12c_{ss}\,d[S,S]_t .\]

“做多凸性”的直观。 持有看涨期权、卖空 \(c_s\) 股。Delta 对冲是凸价格曲线的一条切线；股价无论往哪边跳，曲线都在切线上方，所以对冲后的组合从任意方向的变动里都赚到 \(\frac12c_{ss}(dS)^2\ge0\)。Gamma 在执行价附近最大，越临近到期越集中。

Theta。 \(c_t<0\)：其他条件不变时，随着时间流逝期权贬值。这是做多 Gamma 的代价：把所有二阶变化都算上，

\[dX_t=c_s\,dS_t+(c-c_sS_t)\,r\,dt,\qquad dc(t,S_t)=c_t\,dt+c_s\,dS_t+\tfrac12c_{ss}\sigma^2S_t^2\,dt,\]

而方程说这两者相等——完美对冲。Theta 恰好支付了 Gamma 的收益加上融资成本。

Vega。 \(c_\sigma>0\)：波动率越大，价格变动越大；上涨对看涨期权有利，下跌最多跌到 0。Vega 为正 = 做多波动率。

7. 验证：对冲是完美的

由 \(c=SN(d_+)-Ke^{-r\tau}N(d_-)\)，\(c_s=N(d_+)\)，\(c_{ss}=\frac{N'(d_+)}{\sigma S\sqrt\tau}\) 以及表中的 \(c_t\)，需要验证 \((c-c_sS)\,r=c_t+\frac12c_{ss}\sigma^2S^2\)：

\[\text{左边}=\big[SN(d_+)-Ke^{-r\tau}N(d_-)-SN(d_+)\big]r=-rKe^{-r\tau}N(d_-),\] \[\text{右边}=-rKe^{-r\tau}N(d_-)-\frac{\sigma S}{2\sqrt\tau}N'(d_+)+\frac12\cdot\frac{\sigma S}{\sqrt\tau}N'(d_+)=-rKe^{-r\tau}N(d_-).\ \checkmark\]

Theta 项和 Gamma 项正好抵消。

8. 隐含波动率

在 Black–Scholes 下，收益率的条件均值和方差不随时间变化：

\[E\Big[\frac{dS_t}{S_t}\,\Big\vert\,\mathcal F_t\Big]=\mu\,dt,\qquad\mathrm{Var}\Big[\frac{dS_t}{S_t}\,\Big\vert\,\mathcal F_t\Big]=\sigma^2\,d[W,W]_t=\sigma^2\,dt .\]

现实中波动率不是常数。估计它有两种办法：

用历史收益率算历史波动率（向后看）；
用期权价格反推隐含波动率（向前看）。

对到期日 \(T\)、执行价 \(K\) 的欧式看涨期权，记 \(C_{BS}(\sigma,K,T)\) 为 Black–Scholes 价格，\(C_m(K,T)\) 为市场价格。隐含波动率 \(\sigma_{imp}=\sigma_{imp}(K,T)\) 由下式定义：

\[C_{BS}(\sigma_{imp},K,T)=C_m(K,T).\]

因为 Vega \(>0\)，\(C_{BS}\) 关于 \(\sigma\) 单调递增，所以解唯一。期权通常用隐含波动率报价，而不是直接报价格。如果世界完全符合 Black–Scholes，对所有 \(K,T\) 都有 \(\sigma_{imp}(K,T)=\sigma\)。实际数据中 \(\sigma_{imp}\) 随执行价和期限变化——这就是波动率微笑 / 偏斜，是市场在告诉我们这个模型只是近似。

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本系列是我在波士顿大学 Questrom 商学院修读 QST MF 790 Stochastic Calculus（随机分析）时整理的课程笔记，共 7 篇。内容按课程顺序整理，表述、直观解释和几处勘误是我自己加的。文中 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的第二个参数一律为方差。如有错漏，欢迎指出。本篇英文版：English version。