随机过程笔记 07｜随机微分方程、Feynman–Kac 与停时
导读 最后一篇把视角拉远。股价、利率、波动率都被建模成随机微分方程的解。我们显式解出 Ornstein–Uhlenbeck 方程，认识 CIR 过程，并说明为什么所有 SDE 的解都是马尔可夫的。然后 Feynman–Kac 把整门课首尾接上：收益的条件期望和一个偏微分方程是同一个东西——Black–Scholes 只是其中一例。最后讲派息股票、停时和可选抽样定理。
随机过程笔记 06｜风险中性定价、测度变换与 Girsanov 定理
导读 第 05 篇给看涨期权定了价。这一篇用一个公式给任意收益定价： \(V_t=E^{\mathbb Q}\big[e^{-r(T-t)}V_T\mid\mathcal F_t\big]\)。 价格是净现值——但要在另一个概率测度 \(\mathbb Q\) 下算，在 \(\mathbb Q\) 下股票只赚无风险利率。然后回答几个自然的问题：测度变换是什么？为什么 \(\mathbb P\) 和 \(\mathbb Q\) 对什么可能发生意见一致，对多大可能意见不同？Girsanov 定理又是怎么通过平移布朗运动把 \(\mu\) 变成 \(r\) 的？
随机过程笔记 05｜Black–Scholes：复制、偏微分方程与希腊字母
导读 期权的价格就是复制它所需要的本金。这一篇搭好 Black–Scholes 市场，写出自融资交易者的财富，再把它和期权价格过程逐项对齐（\(dW\) 项和 \(dt\) 项）。对齐 \(dW\) 项得到 Delta 对冲，对齐 \(dt\) 项得到 Black–Scholes 偏微分方程。解方程得到 Black–Scholes 公式，对公式求导得到希腊字母。 一个值得早点注意的意外：股票的期望收益率 \(\mu\) 从价格里消失了。
随机过程笔记 04｜Itô 公式、Itô 过程与几何布朗运动
导读 Itô 公式是随机分析里的链式法则。和普通链式法则相比它多了一项 \(\frac12f''\,d[W,W]_t=\frac12f''\,dt\)，原因正是第 02 篇的 \([W,W]_t=t>0\)。 实际用时只需要二阶泰勒展开加上乘法表 \(dt^2=0,\quad dt\,dW_t=0,\quad (dW_t)^2=dt.\) 这一篇推导公式，推广到 Itô 过程，并用它搭出标准的股价模型——几何布朗运动。
随机过程笔记 03｜随机积分
导读 随机积分其实就是累计的交易盈亏（P/L）：持有 \(\Delta\) 股，价格变动 \(dW\)，加起来。这一篇分三步构造 \(\int_0^t\Delta_s\,dW_s\)——离散时间、”买入持有”的简单策略、用逼近得到的一般策略，并说明同样的五条性质每一步都保留下来： 线性 · 适应 · 鞅 · Itô 等距 \(\mathrm{Var}[I_t]=E\int_0^t\Delta_s^2ds\) · \([I,I]_t=\int_0^t\Delta_s^2ds\)。
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